Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
2) Построим уравнение (32). Из формулы (13) при b\ = 0 следует: и _ J2/5. Тогда выражение для ip согласно (36) примет вид:
'¦P :
5 / 25/2
ЪоГ
4/5
(40)
Уравнение (10) в силу (40) можно представить как
(12
-2J—D-
47.
25
_L__ 10 /
і&о/4/5
(41)
Перепишем (41) в виде
D2
4°+1
f'2
f'2
230 Глава 4
+ \ЬоҐ" [^j-I1Pj+ |^/8/5 = |^/8/5- (42)
Поскольку члены, содержащие 6q, уничтожаются, то уравнение (42) примет следующий факторизованный вид
После раскрытия факторизации в (43) придем к уравнению (32).
Параметрические решения (33),(34) уравнения (32) вытекают из формулы (13) и 1-й части теоремы 3. •
3.2. Элементарные решения уравнений (21), (23), (29), (32)
Элементарные решения получаются при кратных корнях полинома 3-й степени p (і) (см. формулу (25)). а условием существования кратных корней является равенство нулю дискриминанта полинома p(і):
A = C2C2 - 4C0C3 - Acfc3 - 27C01C3 + 18C0CiC2C3 = 0, C0 = -2/3fc.
Подставив вместо со его значение, придём к следующему соотношению между параметрами:
Д = dc2, + 8/3fcc2 - 4C1C3 - Ш2с3 - 12fccic2c3 = 0.
Особенно просто выглядят элементарные решения при с\ = C2 = C3 = 0. Теорема 4. 1.° Уравнение (21) имеет элементарное решение
?(ж) = ріж6/7, р\ = const, (44)
а уравнение (23) имеет элементарное решение
?(ж) = T)2Sj8/7, р2 = const. (45)
2.° Уравнение (29) имеет следующие элементарные решения:
и(х) = 1, и(х) = х~2, и(х) = х~8/7, и(х) = х~6/7. (46)
3. Специальный случай КОУЭФ для n = 2 231
3.° Уравнение (32) имеет следующие элементарные решения
f{x) = 1, f(x) = х-5, f{x) = х-15'7, f{x) = х-20'7. (47)
• Указанные решения можно найти, исходя из теорем 1, 2, 3. Но можно получить непосредственно, отыскивая решения в виде степенной функции. Пусть и(х) = X . Подставив его в уравнение (29), получим алгебраическое уравнение
49А4 + 196А3 + 244А2 + 96А = 0.
Его корнями служат числа: A = O, A = —2, А = —8/7, А = —6/7.
Подставив функцию x? в уравнение (32), получим алгебраическое уравнение
49/J4 + 490/j3 + 1525/j2 + 1500/j = 0. Его корнями служат числа: /J = O, р. = —5, р. = —15/7, р. = —20/7. •
3.3. Примеры
Пример 1. Пусть функция fix) = кх~20^7. Она удовлетворяет не толь-ко (47), но и уравнению (2.26) при т = 27/20, т. е. т Є [1, ¦?]. Тогда урав-нение
у" + кх-20>7у2 = 0 (48)
интегрируется. Действительно, уравнение (48) имеет инвариантное решение у = -§-а;6/7 и преобразованием у = X4^7Z + -J7^7, dt = x~8^7dx
у 49k ff у 49k1
приводится к интегрируемому виду
z + kz2 = 0. (49)
Уравнение (48) допускает две точечные симметрии с генераторами, нормированными так, чтобы представить алгебру Ли A2:
X1 = i%xs/7^- + {f^7y+lx)^-, X2 = -7х^-6у^-, [X1,X2] = X1. 12 дх о к ду ох ду
Указанные преобразования могут быть получены, исходя из теоремы 1. В самом деле, (48) подстановкой (6) приводится к автономной форме (7), (8), где
232 Глава 4
4. Обобщенное уравнение Эмдена-Фаулера
Будем рассматривать уравнение вида
у" + ai(x)y' + а0(х)у + f(x)yn = 0, п ф 0, п ф 1. (1)
Специальный случай получается для п = 2, когда наряду с формулами, справедливыми для произвольного п (случай общего положения) имеют место специфические формулы. Для ОУЭФ этот случай рассматривался в работах автора [58, 254] (здесь из-за громоздкости он приводится не будет).
Выражения (50), (51) удовлетворяют формулам (11)-(13) и системе (17). Если bo = 6/2562, придем к автономному уравнению
z±6ii + 6/256^ + /cz2 = 0.
Пример 2. Если функция f(x) = kx~15/7, то она, кроме (47), удо-
влетворяет уравнению (2.26) при т = 22/lb. Следовательно, т ? [1, ^].
о
Но согласно теореме 2.4 и формулам (2.23), (2.28) всегда можно прийти к предыдущему случаю. Действительно, при п = 2 от соответствующего уравнения /' = /с/22/15 придем к уравнению
u 6т-7 27
^ = x^, ^=5^6 = 20-
Однако уравнение
у" + fcat15/y = 0 (52)
интегрируется также непосредственно.
Действительно, (52) имеет инвариантное решение у = ^J-2-1^7 и преобразованием у = X3/7z + ttt-2^7i dt = х~&/7dx приводится к виду (49).
49 А;
Уравнение (52) допускает алгебру Ли A2:
4. Обобщенное уравнение Эмдена-Фаулера 233
wi = (оту2 + ?lVl)2 2^ (а2у2 + ?2Vl) , tfi > 0;
O1 ^ 2Ay2 +
W2 = л]Ayl + Ву2ух + Cy2 exp (± artig-—=-), S2 < 0;
V-S2 V-022/1
По аналогии с тем, как это было проделано для КОУЭФ, будем искать законы изменения f(x), при которых уравнение (1) приводимо к автономному виду
z ± M + b0z + czn = 0 (2)
преобразованием Куммера-Лиувилля
у = v(x)z, dt = u(x)dx. (3)
(з)
Лемма 1 Для того чтобы (1) —> (2), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия
1 и" 3/И'\2 Ir 2 І2 1/ г 7,2 л і, ! л\
~~u^~aSh) ~4Su =00--01-2%, S = O1-Ab0, (4)
/(a;) =c«V-™.
• Доказывается непосредственно (см. также лемму 2.1). • Лемма 2. Уравнение КШ-2 (4) имеет следующее общее решение
U1 = F(aiy2 + ?iyi)~1(a2y2 + /32уі)_1. «і = («2/32 - а2/3і)2 > 0;
