Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
а и(х) находится из системы уравнений
V = H -f(?)2--^,* = b? -4?, О)
<р" + (±Ъги - б|>' + (f ^ - T 2bW + \b2u2^ V+\V2 =
= \М-тъ№> (10)
3. Специальный случай КОУЭФ для n = 2
Как и для классического уравнения Эмдена-Фаулера, здесь наряду с результатами, справедливыми для произвольного п, имеют место свойства, относящиеся только к случаю п = 2. Итак, пусть
у" + f(x)y2 = 0, (1)
где функция f(x) будет определена дополнительно.
3.1. Приведение к автономному виду
Теорема 1. 1.° Следующие утверждения эквивалентны:
а) Уравнение (Y) допускает точечную симметрию с генератором
І = Є(х)| + [Щ(ф + г,2(х)]|, (2)
І"' = 4^2Г5/2 ехр(Т| J ^), W = 0); (3)
»?і = |(Г±Ьі); (4)
/1>)=*Гб/2ехр(т| j ^). (5)
б) Уравнение (1) подстановкой
у = v(x)z + w(x), dt = u(x)dx (6)
приводится к автономному виду
z-kbxi + boz + c + kz2 =0, (7)
где
226 Глава 4
(17)
Є" = 0 (19)
V = и~1/2 ехр(± J udx), (11)
I flu" 3 и'2 Ix 2\ z1 0n
f = ku5/2exj)(+^ Judx). (13)
2.° Функции ?, гц, г)2 связаны с функциями и, V, w формулами:
и = W = ехр( J dx), W = ехр( J -^-dx) J ^г-ехр(— J ^dx)dx;
(14)
? = h = ^j. % = (15)
• 1.° а) Прежде всего легко показывается, что генератор симметрии имеет вид (2). При этом определяющее уравнение С. Ли X F\f=o = 0, где
2
F = у" + f(x)y2, порождает систему ОДУ
2г][ - ?" = О, < + 2г,2/ = 0, ,
tf' + W + rn)/ = О,
а = о.
Условиями совместности системы (16) являются соотношения (3)-(5).
б) Непосредственная подстановка формул (6) в уравнение (1) приводит к системе
2v'u + vu' = ±&iww2, v" + 2fvw = bovu2 fv = ku2 w" + f(x)uP = cvu2.
Из системы (17) вытекают формулы (7)-(13).
2.° Соотношения (14), (15) также несложно доказываются. •
Для дальнейшего нам понадобится проинтегрировать уравнение (3).
Громоздкий случай O1 ф 0 в данной работе не рассматривается.
Ниже подробно будет рассмотрен случай Ъ\ = 0. Уравнение (3) примет
вид
?"=4кт(х)С5/2, 42=0. (18)
Теорема 2. а) Если в (18) щ = О, то уравнение
3. Специальный случай КОУЭФ для n = 2 227
-4
кои
? = х2р, ds = X 2dx (28)
3Метод точной линеаризации изложен в гл. 5, причем для уравнений 3-го порядка см. гл. 5, п. 7, откуда следует подстановка (26).
4Подстановка (28) найдена согласно тесту автономизации (см. п. 1).
имеет общее решение
І = cix2 + с2х + с3, (20)
где ci,с2,C3 — постоянные интегрирования.
б) Если в (18) г/2 (х) = 1, то уравнение
?"' - Щ-5/2 = 0 (21)
имеет общее решение, которое можно представить в параметрической форме через эллиптический интеграл
? = (-2/3/^ + 01^ + 02^ + 03)-1 ,X = J(-2/3kt3 + at2 + c2t + c3y3/2dt,
(22)
в) Если в (18) 772 = х, то уравнение
?'" = 4кхС5/2- (23)
имеет общее решение вида
Pit)'1 1
Ф) =--, x(t) = -—,-, (24)
SW JP(t)-3/2dt' W JP(t)-3/2dt V 7
где
P(Z) =-|/ct3 + cit2 + C2t + c3. (25)
• а) Решение (20) уравнения (19) очевидно. К утверждению б) приходим следующим образом. Уравнение (21) нелинейной подстановкой
С = ?-\ dt = C3/2dx (26)
линеаризуется3, т. е. приводится к виду
С +Ak = 0. (27)
А т.к. общее решение уравнения (27) есть ((t) = P(t), то справедливы формулы (22).
Утверждение в) доказывается так. Сначала уравнение (23) подстанов-
228
Глава 4
приводится к автономному виду (21), т.е. к предыдущему случаю (с точностью до обозначения переменных), откуда легко прийти к формулам (24), (25). •
Теорема 3. 1) Функционально независимые решения ОДУ 4-го порядка относительно и(х) :
ит Лпи'и"' 25 и"2 , 195 ц/У 585 и'4 _п ,9Q,
и и2 4 и2 + 4 из I6 и4 -
даются формулами:
u(t) = P(t), х=\P(t)-3/2dt, с\ = -2kc2, (ЗО)
2) Функционально независимые решения ОДУ 4-го порядка относительно f(x) :
/ 5/2 10 р 25 /з 125 /4 даются формулами
f(t)=P{tfl2 , X= jP{t)-3'2dt. (33)
/(і) =-- a;(t) =-(34)
где P(t) находится по формуле (25).
• 1) Мы получим уравнение (29), исходя из системы (9), (10) при b\ = 0. Уравнение (10) прежде всего представим в виде
г>2 с и' г> і ( 35 и'2 5 и"
где
Iu" ЗИ'2 , , 2
7 2 /п/>\
3. Специальный случай КОУЭФ для n = 2 Преобразуем левую часть уравнения (35):
1
D2
35 уР _ 5иг[ 4 и2 2 и
if
'¦P
229
= [ D2 -5^D
67 и'2 9 и", 1 , -г X
YY-A^ + 2boU
Уравнение (35) с учетом (37) перепишем в виде
(37)
D2
67
8 и2
9иг[ 4 и
' 2 и2
-260 ( ?2-5^ D
67w
8 и
12
9иг[ 4 и
ZlL 2 I 1 W
3__
4M2
О (38)
Последние два слагаемых в (38), содержащих bo, уничтожаются. В результате мы приходим к уравнению 4-го порядка, записанного в виде факторизации
й-7.,'2 9/\ /и" Зи>2'
4 и
D
2 г И' п і 67 и ¦ ЪиП+ 8 и2
= 0.
(39)
Раскрыв факторизацию в (39), придем к уравнению (29). Параметрические решения уравнения (29) в виде (30), (31) вытекают из формулы (15) и теоремы 2.
