Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
"22,948 < а < 23,374;"
0,224 < а < 0,576
24—26. При уровне значимости 0,05 проверьте гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты:
24.
Эмпирические частоты 6 12 16 40 13 8 5
Теоретические частоты 4 11 15 43 15 6 6
[Хо = 2,5; X2 (0,05; 4) = 9,5. Нет оснований отвергнуть гипотезу]
130 25.
Эмпирические частоты 5 6 14 32 43 39 30 20 6 5
Теоретические частоты 4 7 12 29 48 35 34 18 7 6
[Xq = 3; X2 (0,05; 7)=14,07. Нет оснований отвергнуть гипотезу]
26.
Эмпирические частоты 5 13 12 44 8 12 6
Теоретические частоты 2 20 12 35 15 10 6
[Хо = 13; X2 (0,05; 4) = 9,5. Гипотеза отвергается]
27. Найдите выборочное уравнение прямой регрессии Y на X по данным п~ 5 наблюдений:
X, 1,00 1,50 3,00 4,50 5,00
Уі 1,25 1,40 1,50 1,75 2,25
[у=0,202х+ 1,024]
28. Вычислите выборочный коэффициент корреляции по данным следующей таблицы:
Xi 92 91 90 86 85 85 85 83 80 78 80 83
УІ 84 85 84 81 76 77 75 79 78 78 76 75
[г.- 0,792]
9* ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теория вероятностей возникла в середине XVII столетия в связи с подсчетом различных вероятностей, связанных с азартными играми в карты и кости. Первую такую задачу пытался решить еще в 1494 г. итальянский математик Лука Пачоли (1450—1520), но по-настоящему первые решения теоретико-вероятностных задач принадлежат французским математикам Блезу Паскалю (1623—1662), Пьеру Ферма (1601—1665) и голландскому математику Христиану Гюйгенсу (1629—1695). Именно к этому времени относится возникновение классического определения вероятности.
Основы теории игр изложены Гюйгенсом в сочинении «О расчетах в азартных играх», вышедшем в 1657 г. Остановимся, в частности, на задачах о справедливом разделении ставки, решения которых можно найти в переписке ученых Паскаля и Ферма, в которой, как обычно считают, и зародилась теория вероятностей.
1. Как разделить ставку при игре до трех выигрышных партий, если один игрок выиграл две партии, а другой — одну, и каждым вложено в игру по 32 пистоля?
Свое решение задачи Паскаль наиболее полно изложил в письме к Ферма от 29 июля 1654 г.: «Предположим, что один выиграл две партии, а другой — одну. Они играют еще одну партию, если ее выигрывает первый, то он получает всю сумму в 64 пистоля...; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь 2 выигранные партии, и, следовательно, если они намерены произвести раздел, каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля... Если же игроки не намерены рисковать... и хотят произвести раздел, то первый должен сказать: «Я имею 32 пистоля верных, ибо в случае проигрыша я их также получил бы, но остальные 32 пистоля могут быть получены либо мной, либо вами. Случайности равны. Разделим же эти 32 пистоля пополам, и дайте мне, кроме того, бесспорную сумму в 32 пистоля». Как видно из рассуждений Паскаля, первый игрок должен получить 48 пистолей, а второй — 16.
2. Как разделить ставку при игре до трех выигрышных партий, если один игрок выиграл две партии, а другой — ни одной, и каждым вложено в игру по 32 пистоля?
Ответы, предложенные Паскалем, таковы: первый игрок должен получить 56 пистолей, а второй — 8 пистолей. Рассуждения при решении подобны тем, которые были проведены при решении пре-
132 дыдущей задачи: если бы первый игрок выиграл еще одну партию, то ему причиталось бы 64 пистоля, если бы проиграл — 48 пистолей, остаток 16 делится поровну.
3. Как разделить ставку при игре до трех выигрышных партий, если первый игрок выиграл одну партию, а второй — ни одной, и каждым вложено в игру по 32 пистоля?
Пусть игроки сыграют еще одну партию. Если ее выигрывает первый, то он будет иметь, как и в предыдущем случае, 56 пистолей. Если он ее проигрывает, то у обоих окажется по одной выигранной партии, и первому следует получить 32 пистоля. Первый игрок может сказать: «Если вы не хотите играть эту партию, дайте мне мой бесспорный выигрыш в 32 пистоля, а остаток от 56 разделим поровну, т. е. возьмем каждый по 12, что с 32 составит 44». Значит, первый игрок должен получить 44 пистоля, а второй — 20.
В книге Якоба Бернулли (1713 г.) «Искусство предположений» были установлены все основные свойства вероятностей, рассмотрена схема независимых испытаний и выведена соответствующая формула. Кроме того, здесь доказана теорема о связи между вероятностью и частотой наступления события, которую сейчас называют теоремой Бернулли, или законом больших чисел в форме Бернулли. Это была первая из теорем этого типа, играющих сейчас большую роль в теории вероятностей.
Следующий период истории теории вероятностей — XVIII в. и начало XIX в.— связан главным образом с именами французских математиков А. Муавра, П. Лапласа, С. Пуассона и А. Лежандра и немецкого математика К. Гаусса. В это время в теории вероятностей, кроме понятия случайного события, рассматривается и понятие случайной величины. Теория вероятностей начала применяться уже в ряде научных областей — теории ошибок измерений, теории стрельбы и т. п.
