Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
С надежностью у можно утверждать, что доверительный интервал (s - sq\ s + sq) покрывает неизвестный параметр а; точность оценки b = sq.
В приложении 5 приведена таблица значений g = q(у, п) для различных значений п и обычно задаваемых значений надежности у.
121 Пример 1. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально. Найдем доверительный интервал для аг с надежностью у= 0,95, если и = 20, S = 0,40.
Для надежности у=0,95 и и = 20 находим в таблице приложения 5 q = 0,37. Далее, ^ = 0,40 0,37 = 0,15. Границы доверительного интервала 0,40-0,15 = 0,25 и 0,40 + 0,15 = 0,55. Итак, доверительный интервал (0,25; 0,55) покрывает от с надежностью 0,95.
Пример 2. На ферме испытывалось влияние витаминов на прибавку в массе телят. С этой целью было осмотрено 20 телят одного возраста. Средняя масса их оказалась равной 340 кг, а «исправленное» среднее квадратическое отклонение — 20 кг.
Определим: 1) доверительный интервал для математического ожидания а с надежностью 0,95; 2) доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с той же надежностью.
При решении задачи будем исходить из предположения, что данные пробы взяты из нормальной генеральной совокупности.
Решение. 1) Согласно условиям задачи, Xb = 340; S=20; у=0,95; п = 20.
Пользуясь распределением Стьюдента, для надежности у= 0,95 и и = 20 находим в таблице приложения 4 /у = 2,093. Следовательно,
20
8 = 2,093 -J= = 9А- Границы доверительного интервала 340-9,4 =
= 330,6 и 340 + 9,4 = 349,4. Итак, доверительный интервал (330,6; 349,4) покрывает а с надежностью 0,95.
Можно считать, что в данном случае истинная масса измерена
9 4
достаточно точно (отклонение порядка = 0,03).
2) Для надежности у= 0,95 и и = 20 находим в таблице приложения 5 q = 0,37. Далее, 5^ = 20-0,37 = 7,4. Границы доверительного интервала 20-7,4 = 12,6 и 20 + 7,4 = 27,4. Таким образом, 12,6<а<27,4, откуда можно заключить, что о определено неудовлетворительно
(отклонение порядка — = q = 0,4 — почти половина!). Чтобы сузить доверительный интервал при той же надежности, необходимо увеличить число проб п.
Примечание. Выше предполагалось, что q<\. Если q> 1, то, учитывая, что о> 0, получаем 0<a<s + s#. Значения q ив этом случае определяются по таблице приложения 5.
ПримерЗ. Признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема «=10 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение 5 = 0,16. Найдем доверительный интервал для Or с надежностью 0,999.
Для надежности у= 0,999 и л = 10 по таблице приложения 5 находим q= 1,80.
122 Следовательно, искомый доверительный интервал таков-О < а < 0,16 + 0,16 1,80,
или
0 < а < 0,448.
5. Оценка истинного значения измеряемой величины. Пусть проводится п независимых равноточных измерений* некоторой физической величины, истинное значение а которой неизвестно. Будем рассматривать результаты отдельных измерений как случайные величины Xu X2, ..., Х„. Эти величины независимы (измерения независимы), имеют одно и то же математическое ожидание а (истинное значение измеряемой величины), одинаковые дисперсии о2 (измерения равноточны) и распределены нормально (такое допущение подтверждается опытом). Таким образом, все предположения, которые были сделаны при выводе доверительных интервалов в пп. 2 и 3 настоящего параграфа, выполняются, следовательно, мы вправе использовать полученные в них предложения. Так как обычно а неизвестно, следует пользоваться предложением, найденным в п. 3 данного параграфа.
Пример. По данным девяти независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений х„ = 42,319 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение S = 5,0. Требуется оценить истинное значение а измеряемой величины с надежностью у= 0,99.
Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном о) при помощи доверительного интервала
_ IyS — IyS
Xt--= < а < xt + -j=, V/1 -J п
покрывающего а с заданной надежностью у= 0,99.
Пользуясь таблицей приложения 4 по у = 0,99 и л = 9, находим ty= 3,36.
Найдем точность оценки:
8 = = 3,36 -р = 3,36 | = 5,б0.
-Jn V 9 i
Границы доверительного интервала
42,319-5,60 = 36,719
и
42,319 + 5,60 = 47,919.
Итак, с надежностью у= 0,99 истинное значение измеренной величины а заключено в доверительном интервале 36,719 < а < 47,919.
* То есть измерений, проводимых в одинаковых условиях Эти условия считают выполненными, если измерения проводятся одним прибором
123 6. Оценка точности измерений. В теории ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с помощью среднего квадратического отклонения с случайных ошибок измерений. Для оценки о используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение s. Поскольку обычно результаты измерений независимы, имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины) и одинаковую дисперсию (в случае равноточных измерений), то утверждение, приведенное в п. 4, применимо для оценки точности измерений.
