Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
* В таком случае говорят, что Qn сходится к 0 по вероятности.
8*
115 выборочной средней х„, будем обозначать соответственно через S2 И S.
Отметим, что если варианты х, — большие числа, то для облегчения вычисления S2 формулу для S2 аналогично формуле (4.9) преобразуют к виду
7XU-С)2-(Xt-C)2
(4.14)
где С—ложный нуль.
Оценки, обладающие свойствами несмещенности и состоятельности, при ограниченном числе опытов могут отличаться дисперсиями.
Ясно, что чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. Поэтому необходимо, чтобы дисперсия оценки была минимальной. Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной.
Из отмеченных требований, предъявляемых к оценке, наиболее важными являются требования несмещенности и состоятельности.
Пример 5. С плодового дерева случайным образом отобрано 10 плодов. Их массы хь х2, ..., X10 (в граммах) записаны в первой колонке приведенной ниже таблицы. Обработаем статистические данные выборки. Для вычисления х, и s по формулам (4.6) и (4.14) введем ложный нуль C= 250 и все необходимые при этом вычисления сведем в указанную таблицу:
/ х, X1-C (X1-C)I
1 225 -25 625
2 274 24 576
3 305 55 3025
4 253 3 9
5 220 -30 900
6 245 -5 25
7 211 -39 1521
8 234 -16 256
9 230 -20 400
10 231 -19 261
Сумма -72 7598
Следовательно,
і 10 і хв = 250 + ^ X (х, - 250) = 250 + (-72) = 250 - 7,2 = 243 (г).
116 S =
I ,u
±?(х,-250)2-(250-7,2-250)2
I
JO [759,8-(-7,2)2H 28 (r).
Отсюда J= = 9 (г).
Vio
Итак, оценка генеральной средней массы плода равна 243 г со средней квадратической ошибкой 9 г.
Оценка генерального среднего квадратического отклонения массы плода равна 28 г.
П р и м е р 6. Через каждый час измерялось напряжение в электросети. Результаты измерений (в вольтах) представлены в следующей таблице:
/ xi 1 222 2 219 3 224 4 220 5 218 6 217 7 221 8 220 9 215 10 218 11 223 12 225
і xi 13 220 14 226 15 221 16 216 17 211 18 219 19 220 20 221 21 222 22 218 23 221 24 219
Найти оценки для математического ожидания и дисперсии результатов измерений. Оценки для математического ожидания и дисперсии найдем по формулам (6) и (14), положив C= 220. Все необходимые вычисления приведены в нижеследующей таблице:
і х-С (х,- С)1 I Xi-C (х,- Cf / х,-С (х,- Cf
1 2 4 9 -5 25 17 1 1
2 -1 1 10 -2 4 18 -1 1
3 4 16 11 3 9 19 0 0
4 0 0 12 5 25 20 1 1
5 -2 4 13 0 0 21 2 4
6 -3 9 14 6 36 22 -2 4
7 1 1 15 1 1 23 1 1
8 0 0 16 -4 16 24 -1 1
Сумма 1 35 4 116 1 13
Следовательно,
хв = 220 + ± ? (х, - 220) = 220 + ^ = 220,25 (В).
^ — — * 23
-L -?(х,-220)2- (220,25-220)2
- 7,06 (Bj).
117 § 4.3. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
1. Надежность. Доверительные интервалы. Пусть © — оцениваемый параметр, ©„ — его оценка, составленная из Xu X2, ..., Xn.
Если известно, что оценка 0„ является несмещенной и состоятельной, то по данным выборки вычисляют значение Qn и считают его приближением истинного значения ©. При этом среднее квадратическое отклонение (если его вообще вычисляют) оценивает порядок ошибки. Такие оценки называются точечными. Например, в предыдущем параграфе речь шла о точечных оценках генеральной средней и генеральной дисперсии. В общем случае, когда о распределении признака X ничего неизвестно, это уже немало.
Если же о распределении имеется какая-либо информация, то можно сделать больше.
Здесь речь будет идти об оценке параметров а и а случайной величины, имеющей нормальное распределение. Это очень важный случай. Например (см. § 2.7), результат измерения имеет нормальное распределение. В этом случае становится возможным применять так называемое интервальное оценивание, к изложению которого мы и переходим.
Пусть 5 > 0 — некоторое число. Если выполняется неравенство |©-©„|<5, т.е. -5<©-©„<5, что можно записать в виде ©„-8< < © < 0„ + 8, то говорят, что интервал (0„- 8, ©„ + 8) покрывает параметр ©. Однако невозможно указать оценку 0„ такую, чтобы событие {|0- 0„|<5} было достоверным, поэтому мы будем говорить о вероятности этого события. Число 8 называется точностью оценки 0„.
Определение. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки ©„ параметра 0 для заданного 8>0 называется вероятность у того, что интервал (©„-8, 0„ + 5) покроет параметр ©, т.е.
у=/>{0„-8<©<0,, + 5} = />{| 0„-01 < 8}.
Заметим, что после того, как по данным выборки вычислена оценка 0„, событие {|0„-0|<8} становится или достоверным, или невозможным, так как интервал (0,,-5, 0„ + 8) или покрывает ©, или нет. Но дело в том, что параметр © нам неизвестен^ Поэтому мы называем надежностью у уже вычисленной оценки 0„ вероятность того, что интервал (0„-8, 0„ + 8), найденный для произвольной выборки, покроет ©. Если мы сделаем_много ^ыборок объема п и для каждой из них построим интервал (0„-8, 0,, + 8), то доля тех выборок, чьи интервалы покроют 0, равна у.
Иными словами, у есть мера нашего доверия вычисленной оценке 0„.
