Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что, чем меньше число 8, тем меньше надежность у.
118 Определение. Доверительным интервалом называется найденный по данным выборки интервал (©„-8, ©л + 5), который покрывает параметр 0 с заданной надежностью у.
Надежность у обычно принимают равной 0,95 или 0,99, или 0,999.
Конечно, нельзя категорически утверждать, что найденный доверительный интервал покрывает параметр 0. Но в этом можно быть уверенным на 95% при у= 0,95, на 99% при у= 0,99 и т.д. Это значит, что если сделать много выборок, то для 95% из них (если, например, у = 0,95) вычисленные доверительные интервалы действительно покроют 0.
2. Доверительный интервал для математического ожидания при известном о. В некоторых случаях среднее квадратическое отклонение с ошибки измерения (а вместе с нею и самого измерения) бывает известно. Например, если измерения осуществляются одним и тем же прибором при одних и тех же условиях.
Итак, пусть случайная величина X распределена нормально с параметрами аист, причем ст известно. Построим доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр а с заданной надежностью у. Данные выборки есть реализации случайных величин Л",, Хг, ..., Xn, имеющих нормальное распределение с параметрами а и ст (§ 4.2, п. 1). Оказывается, что и выборочная средняя случайная
величина X = j(X, + X2 + ... + Xn) тоже имеет нормальное распределение (это мы примем без доказательства). При этом (см. § 4.2, пп. 2, 3)
M(X) = а- а(Х) = -j=.
¦ЯП
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение Р(\Х-а\< 5) = у, где у—заданная надежность. Пользуясь формулой (2.27) (§ 2.7, п. 2), получим
Р(\Х-а\<Ь) = 2<ь[^
или
Р(\Х-а\< 5) = 2Ф(/),
где
_ ьШ
о
Найдя из равенства (4.15) Ь = -^=, можем написать
-Jn
р(\Х-а\<-^) = 20(f).
(4.15)
119 Так как P задана и равна у, то окончательно имеем (для получения рабочей формулы выборочную среднюю заменяем на Xb):
< а < хв+-Jjj = 2Ф(/) = у.
Смысл полученного соотношения таков: с надежностью у можно
утверждать, что доверительный интервал \ хв + —¦ | покры-
^ -Jn -JnJ
вает неизвестный параметр а; точность оценки 8 = . Здесь число !
-Jn
у
определяется из равенства Ф(/) = — [оно следует из 2Ф(/)=у] по
таблице приложения 3.
Как уже упоминалось, надежность у обычно принимают равной или 0,95 или 0,99, или 0,999.
Пример. Признак ^распределен в генеральной совокупности нормально с известным а = 0,40. Найдем по данным выборки доверительный интервал для а с надежностью у = 0,99, если я = 20, Xb = 6,34.
Y 0 99
Для Ф(/) = - = -J- = 0,495 находим по таблице приложения 3 ^ = 2,58. Следовательно, 8 = 2,58 •-^==E = 0,23. Границы доверительного интервала 6,34-0,23 = 6,11 и 6,34 + 0,23 = 6,57. Итак, доверительный интервал (6,11; 6,57) покрывает а с надежностью 0,99.
3. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном <у. Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестными нам параметрами а и а. Оказывается, что случайная величина (ее возможные значения будем обозначать через t)
rr- X - а
Sffi'
где я —объем выборки; X — выборочная средняя; S— исправленное среднее квадратическое отклонение, имеет распределение, не зависящее от а и а. Оно называется распределением Стьюдента*.
Плотность вероятности распределения Стьюдента дается формулой
S(t,n) = B„{ I+-'2 ^2
п-і
где коэффициент В„ зависит от объема выборки.
* Стьюдент — псевдоним английского статистика И. О. Госсета.
120 Потребуем, чтобы выполнялось соотношение
Wl<*,) = Y,
где у—заданная надежность.
Так как S(t, п) — четная функция от /, то, пользуясь формулой (2.15) (см. § 2.5), получим
X -a\JH
</rl = 2js(/, n)dt = у.
Отсюда
,'— tys — iyS\
Следовательно, приходим к утверждению: с надежностью у можно
утверждать, что доверительный интервал (хв - -7=; хв + | покры-
у -Jn -JnJ
вает неизвестный параметр а, точность оценки 5 = ^L. Здесь слу-— ^n-
чайные величины А" и 5 заменены неслучайными величинами Xs и s, найденными по выборке.
В приложении 4 приведена таблица значений /г = /(у, п) для различных значений п и обычно задаваемых значений надежности.
Заметим, что при п> 30 распределение Стьюдента практически не отличается от нормированного нормального распределения
(см. § 2.7, п. 2). Это связано с тем, что Iim 11 + —1 * = е'Т.
I "'1J
Пример. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально. Найдем доверительный интервал для Xt с надежностью у= 0,99, если п = 20; 3с„ = 6,34; 5 = 0,40. Для надежности у= 0,99 и « = 20 находим по таблице приложения 4 Zr = 2,861. Следовательно,
8 = 2,861 ¦ ^= = 0,26. Концы доверительного интервала 6,34-0,26 =
= 6,08 и 6,34 + 0,26 = 6,60. Итак, доверительный интервал (6,08; 6,60) покрывает хг с надежностью 0,99.
4. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения. Для нахождения доверительного интервала для среднего квадратического отклонения а будем использовать следующее предложение, устанавливаемое аналогично двум предыдущим (пп. 2 и 3).
