Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
ПримерЗ. Рис. 15 показывает гистограмму непрерывного распределения объема я= 100, заданного следующей таблицей:
Частичный интервал, Л Сумма частот вариант частичного интервала, л, п, h
5-10 4 0,8
10-15 6 1,2
15-20 16 3,2
20-25 36 7,2
25-30 24 4,8
30-35 10 2,0
35-40 4 0,8
§ 4.2. Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке
1. Выборка как набор случайных величин. Пусть имеется некоторая генеральная совокупность, каждый объект которой наделен количественным признаком X. При случайном извлечении объекта из генеральной совокупности становится известным значение х признака X этого объекта. Таким образом, мы можем рассматривать извлечение объекта из генеральной совокупности как испытание, X— как случайную величину, ах — как одно из возможных значений X.
106 Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, к какому типу распределений относится признак Л". Естественно, возникает задача оценки (приближенного определения) параметров, которыми описывается это распределение. Например, если известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то необходимо оценить, т. е. приближенно найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.
Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки генеральной совокупности, например значения количественного признака хь х2, ..., х„, полученные в результате п наблюдений (здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр.
Опытные значения признака X можно рассматривать и как значения разных случайных величин Xu X1, ..., Xn с тем же распределением, что и X, и, следовательно, с теми же числовыми характеристиками, которые имеет X. Значит, M(X1) = M(X) и D(X1) = D(X). Величины Xu X1, ..., Xn можно считать независимыми в силу независимости наблюдений. Значения хь X1, ..., х„ в этом случае называются реализациями случайных величин X1, X1, ..., Xn. Отсюда и из предыдущего следует, что найти оценку неизвестного параметра — это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин Xu X1, ..., Xn, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.
2. Генеральная и выборочная средние. Методы их расчета. Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема N относительно количественного признака X.
Определение 1. Генеральной средней хг (или а) называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.
Если все значения хь X1, ..., xN признака генеральной совокупности объема N различны, то
*г =jf(X] + X1 + ... + XN).
Если же значения признака хь х2, ..., хк имеют соответственно частоты Nu N1, ..., Nk, причем N + N1 + ... + Nk = N, то
icr = L (XlAr1 + X1N1 + ... + Xk Nk),
или
= JftxlNl. (4.1)
/ = і
Как уже отмечалось (п. 1), извлечение объекта из генеральной совокупности есть наблюдение случайной величины X.
107 Пусть все значения х,, х2, ..., xN различны. Так как каждый объект может быть извлечен с одной и той же вероятностью 1JN, то
M(X) = Xi-Jj+ X2-Jj + ...+xN Y = хт,
M(X) = хт. (4.2)
Такой же итог следует, если значения Х|, х2, ..., хк имеют соответственно частоты Arb N2, ..., Nk.
В случае непрерывного распределения признака X по определению полагают Xr=M(X).
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X произведена выборка объема п.
Определение 2. Выборочной средней Зсв называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.
Если все значения X1, х2, ..., х„ признака выборки объема п различны, то
х. =!(*, +X2 + ... + х„). (4.3)
Если же значения признака xi, х2, ..., хк имеют соответственно частоты И|, пг, ..., пк, причем и, + п2 +... + пк = п, то
Xb = j (х,И, + X2Tl2 + ... + ХкПк),
или
к
Пример 1. Выборочным путем были получены следующие данные о массе 20 морских свинок при рождении (в г): 30, 30, 25, 32, 30, 25, 33, 32, 29, 28,_27, 36, 31, 34, 30, 23, 28, 31, 36, 30. Найдем выборочную среднюю Xs.
Согласно формуле (4.4), имеем:
— _ 30 S+ 25 2 + 32 2 + 33 + 29 + 28 2 + 27 + 36 2 + 31 2 + 34 + 23 _ ™
Xs - JU.
Итак, хв = 30.
Далее, не уменьшая общности рассуждений, будем считать значения хь х2, ..., хл признака различными.
Разумеется, выборочная средняя для различных выборок того же объема п из той же генеральной совокупности будет получаться, вообще говоря, различной. И это не удивительно — ведь извлечение 1-го по счету объекта есть наблюдение случайной величины Xlt а их среднее арифметическое
X = 1(Х, + X2 + .. . + Xn) есть тоже случайная величина.
108 Таким образом, всевозможные получающиеся выборочные средние есть возможные значения случайной величины X, которая называется выборочной средней случайной величиной.
Найдем M(X), пользуясь тем, что M(X1) = M(X) (см. п. 1). С учетом свойств математического ожидания (см. гл. II) получаем:
M(X) = M [!(JT1 + *2 + ... + Xn)] = \[М(Х,) + M(X2) + ... + M(Xn)] =
