Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
= l[M(X) + M(X) + ... + M(X)] = Ina = а.
Итак, M(X) (математическое ожидание выборочной средней) совпадает с а (генеральной средней).
Теперь найдем D(X). Так как D(X1) = D(X) (п. 1) и ЛІ, X2, ..., Xn независимы, то, согласно свойствам дисперсии (см. гл. II), получаем
D(X) = D[\ (X1+ X2+ ... + Xn)] = ^D(X1)+ D(X2)+ ... + D(Xn)] = = -I2ID(X) + D(X) + ... + D(X)] = ^nD(X) = Wp.,
т. е.
D(X) = ^P-. (4.5)
Наконец, отметим, что если варианты х,—большие числа, то для облегчения вычисления выборочной средней применяют следующий прием. Пусть С—константа. Так как
2х,=2(х,-С) + лС, (=i '»і
то формулу (4.3) можно преобразовать к виду
*» =C+ IjT(Xf-C). (4.6)
і = i
За константу С (так называемый ложный нуль) берут некоторое среднее значение между наименьшим и наибольшим значениями х, 0= 1, 2, ..., п).
Пример 2. Имеется выборка:
X1 = 71,88; х2 = 71,93; X3 = 72,05; х4 = 72,07;
X5 = 71,90; х6 = 72,02; X7 = 71,93; х„ = 71,77;
X9 = 72,11; X10 = 71,96:
Требуется найти х„.
Возьмем C= 72,00 и вычислим разности а, = х,-С: а, = -0,12; а2 = -0,07; а3 = 0,05; а4 = 0,07; CX5 = -0,10; а6 = 0,02; а7 = -0,07; а„ = -0,23; а, =0,11; а10 = -0,04.
109 Их сумма: Ci1 + а2 + ... + aw = -0,38; их среднее арифметическое L (а, + а2 + ... + аш) = -0,038 = -0,04. Выборочная средняя
Зсв = 72,00 - 0,04 = 71,96.
3. Генеральная и выборочная дисперсии. Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят следующую характеристику — генеральную дисперсию.
Определение 1. Генеральной дисперсией Dr называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака X генеральной совокупности от генеральной средней хг.
Если все значения X1, х2, ..., xN признака генеральной совокупности объема N различны, то
Dr = Lj^ix,-хт)\ / = і
Если же значения признака хь х2, ..., хк имеют соответственно частоты Nu N2, ..., Nk, причем Nx + N2 + ... + Nk = N, то
Dr = Lj^xl-XrYN,. (4.7)
і -1
Пример 1. Генеральная совокупность задана таблицей распределения:
X, 2 4 5 6
N1 8 9 10 3
Найдем генеральную дисперсию.
Согласно формулам (4.1) и (4.7), имеем:
- _ 2-8 + 4-9 + 5 10 + 6-3 _ J20 _ л.
8 + 9 + 10 + 3 30 '
л (2-4)2 -8 + (4-4)2 9+ (5-4)2-10+ (6 - 4)2-3 54 ]й
Dr =-30-= ^ = 1,8.
Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется Gr = ^fDr.
Пусть все значения хх, х2, ..., xN различны. Найдем дисперсию признака X, рассматриваемого как случайная величина:
D(X) = M [(X - M(Ar))2].
UO Так как M(X) = Xr и Р{Х = х,} = ± (см. п. 2), то
D(X) = (X1 - Xr)2 L + (Х2 _ ^y ± + + (Xn _ JL = Drt
т. е.
D(X) = Dr.
Таким образом, дисперсия D(X) равна Dr.
Такой же итог можно получить, если значения X1, х2, ..., хк имеют соотвественно частоты Nu N2, ..., Nk.
В случае непрерывного распределения признака X по определению полагают
Dr=D(X). (4.8)
С учетом формулы (4.8) формула (4.5) (п. 2) перепишется в виде
D(X) = ^-,
откуда -Jd(X) = или а(Х) = ar/yfn. Величина а(Х) называ-
ется средней квадратической ошибкой.
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения хв, вводят выборочную дисперсию.
Определение 2. Выборочной дисперсией Dt называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака X от выборочной средней хв.
Если все значения X1, х2, ..., х„ признака выборки объема п различны, то
і = і
Если же значения признака хь х2, ..., Xk имеют соответственно частоты пи п2, ..., пк, причем п\+ п2 +... + пк = п, то
A = IlU -X8)2п,. (4.10)
і = і
Пример 2. Пусть выборочная совокупность задана таблицей распределения:
X1 1 2 3 4
п, 20 15 10 5
ill Найдем выборочную дисперсию. Согласно формулам (4.4) и (4.10), имеем:
- _ 1 20 + 2-15 + 3 10 + 4 5 = КЮ - 2" " 20 + 15+ 10 + 5 50
п _ (1 - 2)2 20 + (2 - 2)2 15 + (3-2)2 10 + (4-2)2 5 _ 50 _ і
50 50
Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется квадратный корень из выборочной дисперсии:
В условиях примера 2 получаем, что a, = = -Jl = I.
Далее, не уменьшая общности рассуждений, будем считать значения Xi, X2, ..., хп признака различными.
Выборочную дисперсию, рассматриваемую нами как случайная величина, будем обозначать S2:
^2 = її Kx'- ХУ-
і
/=і
Теорема. Математическое ожидание выборочной дисперсии равно ((«- l)/n)Dr, т.е.
M(S2) = ^-Dr.
Доказательство. С учетом свойств математического ожидания (см. гл. И) получаем
M(S2) = M
і
і = і
1
і
/=і
Вычислим одно слагаемое М[(Х, - X)2]. Имеем
M [(X1 - J)2] = М(Х2 - IX1X + X2) =
= М(Х2) - IM(X1X) + М(Х2).
Вычислим по отдельности эти математические ожидания.
Согласно свойству 1 дисперсии (см. гл. II) и формулам (4.2), (4.8) имеем
М(Х2) = М(Х2) = D(X) + M2(X) = Dr + а2. Далее, с учетом свойства 4 математического ожидания (см. гл. II) M(X1X) = м[х, ^(Xi+ X2+ ... + Xn)] =
