Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
Пример. По 16 независимым равноточным измерениям найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение 5=0,4. Найдем точность измерений с надежностью у= 0,99.
Как отмечено выше, точность измерений характеризуется средним квадратическим отклонением с случайных ошибок измерений. Поэтому задача сводится к отысканию доверительного интервала (s-sg\ s + sq), покрывающего о с заданной надежностью у = 0,99 (см. п. 4). По таблице приложения 5 по у = 0,99 и я = 16 найдем q = 0,70. Следовательно, искомый доверительный интервал таков:
0,4(1 - 0,70) < с < 0,4(1 + 0,70),
или
0,12 < о < 0,68.
§ 4.4. Проверка статистических гипотез
Пусть по выборке объема я получено эмпирическое распределение с равноотстоящими вариантами:
Варианты X1 Хг х„
Эмпирические (наблюдаемые) частоты И| Пг пт
По данным наблюдения выдвигают гипотезу о законе распределения генеральной совокупности, например, предполагают, что генеральная совокупность распределена равномерно или нормально. Такие гипотезы называются статистическими. Затем для тех же объектов, которые попали в выборку, вычисляют частоты, уже исходя из теоретической гипотезы. В результате получаются частоты (их называют выравнивающими частотами), которые, вообще говоря, отличаются от наблюдавшихся. Как определить, правильно или нет выдвинута гипотеза, т. е. случайны ли расхождения наблюдавшихся и выравнивающих частот или эти расхождения являются следствием неправильности гипотезы? Для решения этого вопроса применяют критерии согласия эмпирических наблюдений к выдвинутой гипотезе. Имеется несколько критериев согласия: х2 («хи-квадрат»)
124 Пирсона, критерий Колмогорова, критерий Смирнова и др. Мы познакомимся с критерием согласия %2 («хи-квадрат») Пирсона.
Предположим, что на основе приведенного выше распределения выдвинута гипотеза Я: генеральная совокупность имеет нормальное распределение. Для вычисления выравнивающих частот поступают следующим образом:
1) находят значения Зсв, сгв = /?;
2) выравнивающие частоты п\ ищут по формуле
«: = ¦згфОО.
где п — сумма наблюдавшихся частот; h — разность между двумя соседними вариантами; и, = х'~ и cp(w) = -^eT-.
В результате получают множество выравнивающих частот:
п\, п'ъ --.,п'п,.
Обозначим через х2 сумму квадратов разностей между эмпирическими и выравнивающими частотами, деленных на соответствующие выравнивающие частоты:
X2 = (4-16)
(это обозначение и для распределения %2).
Для данной выборки по формуле (4.16) находим значение случайной величины X2. Обозначим его через xl- Затем определяется число к= т-3, называемое числом степеней свободы, где т — число различных вариант выборки.
Теперь проверка гипотезы Я проводится так. Задаются достаточно малой вероятностью р, называемой уровнем значимости (обычно в качестве р берут либо 0,05, либо 0,01, либо 0,001). Считается, что событие с такой вероятностью является практически невозможным. По таблице значений %2 (приложение 6, здесь речь идет о так называемых критических точках распределения х2) по заданному уровню значимости р и числу степеней свободы к находят значение хЧр', к)- Если окажется, что xl > X2 (р\ к), то гипотеза H отвергается на уровне значимости р, так как произошло событие, которое не должно было произойти при верной гипотезе Я; если же ХІ < X2 (р\ к), то H принимается на уровне значимости р.
Пример. При уровне значимости 0,05 проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны:
эмпирические частоты... 6 13 38 74 106 85 30 14
теоретические частоты... 3 14 42 82 99 76 37 13
* Из этой формулы видно, что чем меньше различие между эмпирическими и выравнивающими частотами, тем меньше будет X2¦
125 Вычислим ^2j для чег0 составим расчетную таблицу:
I і/ n'i "і - (я, - f,)2 («і - «;>2
1 6 3 3 9 3
2 13 14 -1 1 0,07
3 38 42 -4 16 0,38
4 74 82 -8 64 0,78
5 106 99 7 49 0,49
6 85 76 9 81 1,07
7 30 37 -7 49 1,32
8 14 13 1 1 0,08
XS=7,19
Найдем число степеней свободы, учитывая, что число различных вариант т = 8. Имеем: А: = 8-3 = 5. По уровню значимости /> = 0,05 и числу степеней свободы к = 5 по таблице значений ^(приложение 6) находим: х2 (0,05; 5) = 11,1. Так как xl < x2 (0,05; 5), нет оснований отвергнуть гипотезу Н.
§ 4.5. Расчет прямых регрессии
Пусть проведено п опытов, в результате которых получены следующие значения величин (X, Y): (х„ у,), і = 1, 2, ..., п. За приближенные значения M(X), M(Y), D(X) и D(Y) принимают их выборочные значения:
у> = ІІУ<; -*.2 = ^t XU-*»)2;
і= і /=і niI=I
^=^T t(y- -У'У-і=і
Оценкой для (і служит величина
п
И» = ^lt X(х,-х,Ху, -у.).
І = І
Заменяя в соотношениях (3.15), (3.17), (3.20) величины Iixy, ох, Gy их выборочными значениями цв, 5,, s2, получим приближенные значения коэффициента корреляции и коэффициентов регрессии:
126 Подставляя в уравнения (3.18) и (3.19) вместо a, b, р(Y/X) и р (X/Y) их приближенные значения, получим выборочные уравнения прямых регрессий:
Hb- - ,
У ~У. =-T(X-Xt)-,
