Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
0 при х < а;
при а < X
b — а
0 при х > Ъ.
Пример. На отрезке [а; b] наугад указывают точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в левой половине отрезка?
58 .
/W = Обозначим через X случайную величину, равную координате выбранной точки. X распределена равномерно (в этом и состоит точный смысл слов: «наугад указывают точку»), а так как середина
отрезка [а\ Ь\ имеет координату , то искомая вероятность равна (см. § 2.5, п. 2):
a Ь а + Ь
. . ~Т" 2
р(а<Х<Ц^)= jf(x)dx = j j^dx =
а а
Ь-а\ 2 I 2
Впрочем, этот результат был ясен с самого начала (см. § 1.2, п. 1).
2. Нормальный закон распределения. Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется нормальным законом, или законом Гаусса*, если ее плотность вероятности есть
Ot- а)2
f(x) = -L=e-^r, (2.22)
ал/ 2тг
где а и а — постоянные, причем G>0.
Убедимся, что функция (2.22) удовлетворяет условию (2.17). Действительно, перейдя в интеграле
. +Г (х - я)2
~ \e—^-dx (2.23)
12п J
ajbi
к новой переменной
t = ^r, (2.24)
aV2
получим интеграл
- +Г ,idt
ІІҐ^ІҐ Но
JV'2*// =(см. приложение 1).
о
Следовательно,
-Lfe-'2 dt = 1. (2.25)
Значит, интеграл (2.23) тоже равен единице.
* Карл Гаусс (1777—1855) — немецкий математик.
59 Покажем, что M(X) = a, ст = JD(X), или ст2 = D(X). Согласно формуле (2.18), получаем
і 7 <*-->2 M(X) = -J= \xe^~dx.
cw 2 л
Введя новую переменную t по формуле (2.24), с учетом равенства (2.25) получим
M(X) = —|=г f (а + /стл/2 )е-'2ст>/2 ¦ dt =
Gyjlll
= -S= Ie'2 dt + ф Jte'2 dt =O--S= Є-
VTt tJk -У2Tt
Далее, в соответствии с формулой (2.19)
= а.
D(X) =
7 (*-°>2
І (х -а)2е 2<j2 dx.
Воспользовавшись подстановкой (2.24), получим:
+ «»
D(X) = Щ- \ Ve-'2dt.
V Tt
Применяя здесь метод интегрирования по частям (/ = и, te-'2dt = dv), получим с учетом (2.25)
D(X) = -^Ue'2)
VTt
+ \e '2dt = О + ст2 = ст2.
VTt у
График функции у = е-*2 (кривая Гаусса) имеет вид (рис. 6). С учетом графика этой функции график функции (2.22) будет иметь
вид (рис. 7). Причем его максимальная ордината равна \|{c^[їк]. Значит, эта ордината убывает с возрастанием значения ст (кривая «растягивается» к оси Ох — рис. 8) и возрастает с убыванием зна- f(x)
О
a
X
Рис. 7
fix)
ai A
al<a2<a3
O
a
X
Рис. 8
чения о (кривая «сжимается» в положительном направлении оси Oy). Изменение значений параметра а (при неизменном значении о) не влияет на форму кривой.
Нормальное распределение с параметрами а = О и a=l называется нормированным. Плотность вероятности в случае такого распределения оказывается равной
Вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.
Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a, ?), согласно теореме из п. 2 § 2.5
Проведя в этом интеграле замену переменной t = получим
I
ф)=-==Є 2 .
? (х - о)2
о
61 1 f —
Учитывая, что функция Ф(х) = -= Ie г dt является первообразной
V2* J
1
для -J= е~ 2 , и используя формулу Ньютона — Лейбница, будем иметь
Р(а < Ar < ?) = Ф (^Ц—)- Ф (2-26)
Пример 1. Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами а = 30 и а = 10. Найдем вероятность того, что X примет значение, принадлежащее инвервалу (10; 50).
Пользуясь формулой (2.26), получим . Р{ 10 < AT < 50) = ?(?^ }- ?(?^ } = 4*2) - Ф(-2) = 2Ф(2).
По таблице приложения 3 находим Ф(2) = 0,4772. Отсюда искома вероятность
Р(10< Ar < 50) = 2 0,4772 = 0,9544.
Вычисление вероятности заданного откло нения.
Часто требуется определить вероятность ТОГО, ЧТО ОТКЛОНЄНИІ нормально распределенной случайной величины X от ее математи ческого ожидания по абсолютной величине меньше заданного по ложительного числа 5, т.е. нужно найти Р(\Х-а\< 8).
Используя формулу (2.26) и учитывая, что функция Ф(х) нечет ная, имеем
Р(\ X - а I < 5) = Р(а - 5 < X < а + 5) =
= Ф(|)-Ф(-1)=2Ф(|),
т. е.
Р(|АҐ-а|<5) = 2ф(|). (2.27)
Пример 2. Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами а = 20 и а= 10. Найдем Р(|АҐ-20|<3).
Используя выражение (2.27), имеем
Р(\Х - 201 < 3) = 2Ф j.
По таблице приложения 3 находим Ф(0,3) = 0,1179. Поэтому /1O Af - 201 < 3) = 0,2358.
62 Правило трех сигм.
Полагая в выражении (2.27) 8= Зо, получим
Р(\Х -а\< Зо) = 2Ф(3).
Но Ф(3) = 0,49865 (см. таблицу приложения 3) и, значит,
X — а \ < Зо) = 0,9973. (2.28)
Формула (2.28) означает, что событие, состоящее в осуществлении неравенства |A"-fl|<3o, имеет вероятность, близкую к единице, т. е. является почти достоверным. Эта формула выражает так называемое правило трех сигм: если случайная величина распределена по нормальному закону, то модуль ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
