Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Баврин И.И. -> "Теория вероятностей и математическая статистика" -> 16

Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.

Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика — М.: Высшыя школа, 2005. — 160 c.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnostiimatstatistika2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 51 >> Следующая


D(X) = M[(X- M(X))2] = М[Хг- IXM(X) + M2(X)] =

= М(Хг) - IM(X) ¦ M(X) + M2(X) =

= М(Х2) - IM2(X) + M2(X) = M(X2)-M2(X).

С помощью этого свойства и свойств математического ожидания Устанавливаются и другие свойства.

2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю. Действительно,

D(C) = M(C2)-M2(C) = C2- C2 = O.

41 3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX) = C1D(X).

В самом деле,

D(CX) = M(C2Xi) - M2(CX) = С2М(Х2) - C2M1(X) = = С2[М(Х2) - M2(X)] = C2D(X).

4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин XuY равна сумме дисперсий этих величин:

D(X+ Y) = D(X) + D( Y).

Действительно,

D(X+ Y) = M [(X+ Y)2] - М2(Х+ Y) =

= М(Х2 + 2XY+ Y2) - [M(X) + М( У)]2 = М(Х2) + 2М(Х)М( У) + + М( Y2) - M2(X) - 2М(Х)М( У) - М2( У) = = [М(Х2) - M2(X)] + [М( Y2) - М2( У)] = D(X) + D( У).

Используя метод математической индукции, это свойство можно распространить и на случай любого конечного числа слагаемых.

Следствием свойств 3 и 4 является следующее свойство.

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин XuY равна сумме их дисперсий:

D(X-Y) = D(X) +D(Y).

Пример 1. Используя свойство 1 дисперсии, найдем дисперсию случайной величины X, имеющей следующий закон распределения:

X 1 2 3 4 5
P 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

Находим математические ожидания случайной величины X и ее квадрата:

M(X) = 1 ¦ 0,1 + 2 ¦ 0,2 + 3 • 0,3 + 4 ¦ 0,3 + 5 ¦ 0,1 = = 0,1 + 0,4 + 0,9+1,2 + 0,5 = 3,1; М(Х2) = I2 ¦ 0,1 + 22 ¦ 0,2 + З2 • 0,3 + 42 ¦ 0,3 + 52 ¦ 0,1 = = 0,1 + 0,8 + 2,7 + 4,8 + 2,5= 10,9. Отсюда в силу свойства 1 дисперсии

D(X) = 10,9 - (3,1)2 = 10,9 - 9,61 = 1,29.

42 Пример 2. Дисперсия случайной величины X равна 3. Найдем дисперсию следующих величин: а) -ЗА'; б) 4ЛЧЗ.

Согласно свойствам 2, 3 и 4 дисперсии, имеем:

a) D(-3X) = 9D(X) = 9-3 = 27; б) D(4X+ 3) = D(4Х) + D(3) = 16/)(*) + 0 = 16 • 3 =48.

Примечание. Если множество возможных значений дискретной случайной величины X бесконечно, то ее дисперсия определяется суммой сходящегося числового ряда

D(X) =±[хк-M(X)]1 рк.

к-1

3. Среднее квадратическое отклонение.

Определение. Средним квадратическим отклонением с(Х) случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии:

а(Х) = ЩХ).

Необходимость введения среднего квадратического отклонения объясняется тем, что дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины. Например, если возможные значения некоторой случайной величины измеряются в метрах, то ее дисперсия измеряется в квадратных метрах. В тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рассеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина, и используется среднее квадратическое отклонение.

Пример. Случайная величина X— число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определим C(Ar). Имеем:

M(X) = 1-І + 2-І + 3 І + 4.{ + 5.І + 6.І = 3,5;

D(X) = (1 - 3,5)2 і+ (2- 3,5)2 • j + (З - 3,5)2 ¦ { + + (4- 3,5)2 ¦ j + (5 - 3,5)2 і + (6- 3,5)2 ¦ { = If - 2,92; c(X) = ^ ~ 1,7].

4. Понятие о моментах распределения.

Определение I. Начальным моментом порядка к случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины Xk, где к — натуральное число:

Vk=M(Xk).

43 Следовательно, если X имеет распределение

X Xi Xi х„
P Р\ Pl P-

то

Vk = Xfpi +xi Pi + ... + Х„кр„.

(2.3)

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины X можно выразить через начальные моменты первого и второго порядков:

M(X) = V1;

D(X) = M(Xi) _ M2(X) = V1- V}.

Определение 2. Центральным моментом порядка к случайной величины X называется математическое ожидание величины [X-M(X)Y-.

щ = М\Х- М(Х))к].

Из определения 2, согласно установленной выше теореме (п. 1) и определения дисперсии, следует, что

|ii = М\Х- М(Х)\ = 0; [i2 = M[(X- M(X)Yl = D(X). Сравнивая соотношения (2.3) и (2.4), получим

Ji2=V2-V12. (2.5)

Пример 1. Пусть дискретная случайная величина X задана законом распределения:

(2.4)

X 1 3
P 0,4 0,6

Требуется найти начальные моменты первого и второго порядков. Найдем начальный момент первого порядка:

V1 = M(X) = 1 • 0,4 + 3 • 0,6 = 2,2. Запишем закон распределения величины X2:

X1 1 9
P 0,4 0,6

Найдем начальный момент второго порядка: V2 = M (X2) = 1 • 0,4 + 9 • 0,6 = 5,8.

44 Пример 2. Пусть дискретная случайная величина X задана законом распределения, приведенным в предыдущем примере. Найдем центральный момент второго порядка.

Как установлено в предыдущем примере, V1 = 2,2 и V2 = 5,8. Поэтому, согласно формуле (2.5),

ц2 = 5,8 - 2,22 = 5,8 - 4,84 = 0,96.

§ 2.4. Основные законы распределения дискретных случайных величин

1. Биномиальное распределение. Пусть осуществляется п испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли*. Так как вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна <7 = 1 -р.
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 51 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed