Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
D(X) = M[(X- M(X))2] = М[Хг- IXM(X) + M2(X)] =
= М(Хг) - IM(X) ¦ M(X) + M2(X) =
= М(Х2) - IM2(X) + M2(X) = M(X2)-M2(X).
С помощью этого свойства и свойств математического ожидания Устанавливаются и другие свойства.
2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю. Действительно,
D(C) = M(C2)-M2(C) = C2- C2 = O.
413. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
D(CX) = C1D(X).
В самом деле,
D(CX) = M(C2Xi) - M2(CX) = С2М(Х2) - C2M1(X) = = С2[М(Х2) - M2(X)] = C2D(X).
4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин XuY равна сумме дисперсий этих величин:
D(X+ Y) = D(X) + D( Y).
Действительно,
D(X+ Y) = M [(X+ Y)2] - М2(Х+ Y) =
= М(Х2 + 2XY+ Y2) - [M(X) + М( У)]2 = М(Х2) + 2М(Х)М( У) + + М( Y2) - M2(X) - 2М(Х)М( У) - М2( У) = = [М(Х2) - M2(X)] + [М( Y2) - М2( У)] = D(X) + D( У).
Используя метод математической индукции, это свойство можно распространить и на случай любого конечного числа слагаемых.
Следствием свойств 3 и 4 является следующее свойство.
5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин XuY равна сумме их дисперсий:
D(X-Y) = D(X) +D(Y).
Пример 1. Используя свойство 1 дисперсии, найдем дисперсию случайной величины X, имеющей следующий закон распределения:
X 1 2 3 4 5
P 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1
Находим математические ожидания случайной величины X и ее квадрата:
M(X) = 1 ¦ 0,1 + 2 ¦ 0,2 + 3 • 0,3 + 4 ¦ 0,3 + 5 ¦ 0,1 = = 0,1 + 0,4 + 0,9+1,2 + 0,5 = 3,1; М(Х2) = I2 ¦ 0,1 + 22 ¦ 0,2 + З2 • 0,3 + 42 ¦ 0,3 + 52 ¦ 0,1 = = 0,1 + 0,8 + 2,7 + 4,8 + 2,5= 10,9. Отсюда в силу свойства 1 дисперсии
D(X) = 10,9 - (3,1)2 = 10,9 - 9,61 = 1,29.
42Пример 2. Дисперсия случайной величины X равна 3. Найдем дисперсию следующих величин: а) -ЗА'; б) 4ЛЧЗ.
Согласно свойствам 2, 3 и 4 дисперсии, имеем:
a) D(-3X) = 9D(X) = 9-3 = 27; б) D(4X+ 3) = D(4Х) + D(3) = 16/)(*) + 0 = 16 • 3 =48.
Примечание. Если множество возможных значений дискретной случайной величины X бесконечно, то ее дисперсия определяется суммой сходящегося числового ряда
D(X) =±[хк-M(X)]1 рк.
к-1
3. Среднее квадратическое отклонение.
Определение. Средним квадратическим отклонением с(Х) случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии:
а(Х) = ЩХ).
Необходимость введения среднего квадратического отклонения объясняется тем, что дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины. Например, если возможные значения некоторой случайной величины измеряются в метрах, то ее дисперсия измеряется в квадратных метрах. В тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рассеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина, и используется среднее квадратическое отклонение.
Пример. Случайная величина X— число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определим C(Ar). Имеем:
M(X) = 1-І + 2-І + 3 І + 4.{ + 5.І + 6.І = 3,5;
D(X) = (1 - 3,5)2 і+ (2- 3,5)2 • j + (З - 3,5)2 ¦ { + + (4- 3,5)2 ¦ j + (5 - 3,5)2 і + (6- 3,5)2 ¦ { = If - 2,92; c(X) = ^ ~ 1,7].
4. Понятие о моментах распределения.
Определение I. Начальным моментом порядка к случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины Xk, где к — натуральное число:
Vk=M(Xk).
43Следовательно, если X имеет распределение
X Xi Xi х„
P Р\ Pl P-
то
Vk = Xfpi +xi Pi + ... + Х„кр„.
(2.3)
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины X можно выразить через начальные моменты первого и второго порядков:
M(X) = V1;
D(X) = M(Xi) _ M2(X) = V1- V}.
Определение 2. Центральным моментом порядка к случайной величины X называется математическое ожидание величины [X-M(X)Y-.
щ = М\Х- М(Х))к].
Из определения 2, согласно установленной выше теореме (п. 1) и определения дисперсии, следует, что
|ii = М\Х- М(Х)\ = 0; [i2 = M[(X- M(X)Yl = D(X). Сравнивая соотношения (2.3) и (2.4), получим
Ji2=V2-V12. (2.5)
Пример 1. Пусть дискретная случайная величина X задана законом распределения:
(2.4)
X 1 3
P 0,4 0,6
Требуется найти начальные моменты первого и второго порядков. Найдем начальный момент первого порядка:
V1 = M(X) = 1 • 0,4 + 3 • 0,6 = 2,2. Запишем закон распределения величины X2:
X1 1 9
P 0,4 0,6
Найдем начальный момент второго порядка: V2 = M (X2) = 1 • 0,4 + 9 • 0,6 = 5,8.
44Пример 2. Пусть дискретная случайная величина X задана законом распределения, приведенным в предыдущем примере. Найдем центральный момент второго порядка.
Как установлено в предыдущем примере, V1 = 2,2 и V2 = 5,8. Поэтому, согласно формуле (2.5),
ц2 = 5,8 - 2,22 = 5,8 - 4,84 = 0,96.
§ 2.4. Основные законы распределения дискретных случайных величин
1. Биномиальное распределение. Пусть осуществляется п испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли*. Так как вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна <7 = 1 -р.