Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Баврин И.И. -> "Теория вероятностей и математическая статистика" -> 23

Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.

Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика — М.: Высшыя школа, 2005. — 160 c.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnostiimatstatistika2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 51 >> Следующая


Теорема Бернулли. Пусть т — число наступлений события Aen независимых испытанию и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда, каково бы ни было положительное число є,

lim/»(|*-p|<e) = l. (2.38)

Доказательство. Обозначим через Xk случайную величину, равную числу наступлений события А в А:-м испытании, где Л=1, 2, ..., п. Тогда имеем (§ 2.4, п. 1)

т = Х, +X2 +... +Х„;

Af(Xl) = Pi D(Xk) = pq < j,

и все условия частного случая теоремы Чебышева выполнены. Равенство (2.37) превращается в равенство (2.38).

Практический смысл теоремы Бернулли следующий: при постоянстве вероятности случайного события А во всех испытаниях при неограниченном возрастании числа испытаний можно с вероятностью, сколь угодно близкой к единице (т. е. как угодно близко к достоверности), утверждать, что наблюдаемая относительная частота случайного события будет как угодно мало отклоняться от его вероятности.

§ 2.9. Предельные теоремы теории вероятностей

1. Центральная предельная теорема. Как уже отмечалось, нормально распределенные случайные величины имеют широкое распространение на практике. Объяснение этому дает центральная предельная теорема, один из вариантов формулировки которой принадлежит русскому математику А. М. Ляпунову (1857—1918). Суть центральной предельной теоремы состоит в следующем: если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю

66 сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Приведем без доказательства (доказательство см. в работе [3]) центральную предельную теорему для случая одинаково распределенных случайных величин.

Теорема. Если X1, X2, ..., Xn — независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение с математическим ожиданием а и дисперсией а2, то при неограниченном увеличении п закон распределения суммы X=Xi +X2 + ... + Х„ неограниченно приближается к нормальному.

2. Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа.

Если число испытаний п велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Лаплас* получил важную приближенную формулу для расчета вероятности Р„(т) появления

события А точно т раз, если п — достаточно большое число. Им же

/

получена приближенная формула и для суммы вида ?^(7")-

т-к

Локальная предельная теорема Лапласа. Пусть р= P(A) — вероятность события А, причем 0 <р< 1. Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А при п испытаниях появится точно т раз, выражается приближенной формулой

Pnim)' J^), (2.39)

VW Iv -J "PQ J

где q = 1 - р\

і лі ф(х) = ~ї=е 2 ¦

Для функции ф(дс) составлена таблица (см. приложение 2) ее значений для положительных значений х [функция ф(дс) четная]. Выражение (2.39) называют формулой Лапласа. Пример 1. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстреле р = 0,2. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 20 раз?

Здесь р = 0,2, q = 0,8, п = 100 и т = 20. Отсюда -Jnpq = ^/100 0,2 0,8 = 4, и, следовательно,

т - пр _ 20 - 100 0,2 _ q Jnpq 4

Учитывая, что <р(0) = іД/2Їт = 0,40, из формулы (2.39) получаем

^oo (20) = 0,40 і = 0,10.

* Пьер Лаплас (1749—1827) — французский математик, механик и астроном.



67 Перейдем к интегральной теореме Лапласа. Поставим следующий вопрос: какова вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А, имеющее вероятность P(A) =р(0 <р< 1) при п испытаниях (как и прежде число испытаний велико), появится не менее к раз и не более / раз? Эту искомую вероятность обозначим Р„(к, /).

На основании теоремы сложения вероятностей для несовместимых событий (§ 1.3, п. 1) получим

Р„(к,1) = ^Рп(т). (2.40)

т=к

Получим приближенную формулу Лапласа для подсчета суммы (2.40) при больших тип. Используя локальную теорему Лапласа, приближенно будем иметь

PAk, I) «У-кф(хД

где

хя = т = к, Jt+1, ..., /; (2.41)

Jnpq

1 ± ф(х) = -=е 2 .

Далее, в силу равенства (2.41) имеем

Ax =х ,-X = + =_1_ о 42)

Jnpq Jnpq Jnpq

и потому

I

Рп(к, I) ** ХФ(хя)ДХя.

т=к

Здесь сумма справа является интегральной суммой для функции ф(х) на отрезке хк<х<х, причем, как следует из равенства (2.42), при и -> <» Axm -> 0. Следовательно, при п -»<*> предел указанной интегральной суммы есть определенный интеграл

xi

jq>(x)dx.

Поэтому

где

"і ~і 2 Pn(k,l) = \q,(x)dx = -L=\e^dxy (2.43)



к - пр I - пр

Xk = ^-Xt = -(2.44) Jnpq Jnpq

68 Выражение (2.43) при условии (2.44) и составляет содержание интегральной предельной теоремы Лапласа. Нами уже была введена функция

1 г '2

Ф(х) = ^=\е~Ш, (2.45)

Л* J

называемая функцией Лапласа, или интегралом вероятности. Очевидно, Ф(х) есть первообразная для функции <р(х). Поэтому на основании формулы Ньютона — Лейбница из формулы (2.43) получим

Р„(М) = Ф(*/)-Ф( **) (2.46)

(интегральная формула Лапласа).

Как известно, интеграл [l/jbl^j е~~ dx не берется в элементарных функциях. Поэтому для функции (2.45) составлена таблица (см. приложение 3) ее значений для положительных значений х, так как Ф(0) = 0 и функция Ф(х) нечетная:
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 51 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed