Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
п т
SSa = I-
(=1 j=і
Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например, события (X=xh Y=yx), (X=xh Y=y2), ..., (X=xh Y=ym) несовместны, поэтому вероятность P(X=X1)=P(X1) того, что X примет значение Xh по теореме сложения вероятностей (см. § 1.3, п. 1) такова:
P(X1) =Pu+Px 2 + ... +JDlm-
Таким образом, вероятность того, что X примет значение Xh равна сумме вероятностей «строки х,». Аналогично в случае других возможных значений величины X. Сложив же вероятности «столбца у}» (/'=1, 2, ..., т), получим вероятность Р(У=у;)=р(у;).
Пример. Найдем законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения:
X Y У УІ
Xl 0,10 0,06
X2 0,30 0,18
X3 0,20 0,16
Решение. Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений X:
P(X=X1) =0,16; P(X=X1)=Q, 48; P(X=X3) = O, 36. Отсюда закон распределения X:
X Х[ X1 X3 р 0,16 0,48 0,36. Сложив вероятности по столбцам, получим P(Y=yx)= 0,60; Р( Y= у2) = 0,40, и, значит, закон распределения составляющей Y:
У ^2
р 0,60 0,40.
79 § 3.2. Функция распределения двумерной случайной
величины
1. Определение функции распределения двумерной случайной величины и ее свойства.
Определение. Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) (безразлично, дискретной или непрерывной) называют функцию F(x, у), определяющую для каждой пары действительных чисел х, у вероятность того, что X примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение, меньшее у:
F(x, у) = Р(Х<х, Y<y).
Геометрически (рис. 9) это равенство представляет собой вероятность того, что случайная точка (X, Y) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (х, у), расположенный левее и ниже этой вершины.
Пример. Найдите вероятность того, что в результате испытания составляющая X двумерной случайной величины (A", Y) примет значение Х< 4 и при этом составляющая Y примет значение Y< 5, если известна функция распределения этой величины
/X*,j0 = (iarctgf4)(iarctg^4). Решение. Имеем
Р(X < 4, Y < 5) = F(4, 5) = (і arctg | + Щ arctg f + }) =
U 4 т 3/W 4 т 3/ 12 12 144 '
Укажем свойства, которыми обладает функция F(x, у).
1. 0< F(x, у)< 1.
Это свойство следует из того, что F(x, у) вероятность.
2. F(x, у) — неубывающая функция по каждому аргументу, т. е.
F(xu у) < F(x2, у), если X1 <x2; F(x, у,) < F(x, уг), если у,<у2.
Свойство становится наглядным, если воспользоваться геометрической интерпретацией функции распределения.
3. Имеют место предельные соотношения:
f(~У) = Hm F(x, у) = О,
80 F{x, —) = lim Fix, у) = 0; Fi-oo, -oo) = Iim Fix, у) = 0;
F(+~, +00) = Hm Fix, y) = 1.
OO
Эти соотношения также следуют из геометрической интерпретации функции распределения.
4. При у -»+<*> (х +<*>) функция распределения системы стремится к функции распределения составляющей X(Y):
Действительно, при у-* +<*> (х-»+») бесконечный квадрант с вершиной в точке Aix, у) превращается в полуплоскость, вероятность попадания в которую есть функция распределения составляющей XiY).
2. Вероятности попадания случайной точки в полуполосу и прямоугольник.
1. Найдем вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадет в полуполосу xi<x<x2 и (рис. 10, а) или в полуполосу Х<Х\ и < Y<yi (рис. 10,5).
Вычитая из вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной (х2; уі) вероятность попадания этой точки в квадрант с вершиной (хі; у,) (рис. 10, а) получим
lim Fix, у) = Fix, +<*>) = F,(x);
lim Fix, у) = F(+~, у) = F2iy).
Pixi < Х< х2, Y<yt) = Fix2, у,) - F(x,, у,).
Аналогично
Р(Х<хи я < Y<y1) = F(xu у2) - F(xb Уі).
У
У
у і (*\,У\) (х2;у\)
о
X
а
б
Рис. 10
б - 4857
81 У
Итак, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.
A(X1V2) B(X1V7)
C(XlyJl) моугольник ABCD (рис. Ih).
х точки в полуполосу DC с горизон-
Для этого из вероятности попадания случайной точки в полуполосу AB с вертикальной штриховкой вычтем вероятность попадания этой
2. Найдем вероятность попадания случайной точки (X; К) в пря-
тальной штриховкой. Получим
P{Xi<X<x2, Y< у2) = = (F(Xj, у2)~ F(xu у2))~ -(F(Xbyi)-F(Xuyl)). (3.1)
Рис. И
Пример. Найдем вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми x = ~,x=~,y = j,y = j, если известна функция распределения
Решение. В данном примере в выражении (3.1) Jcf = х2 = -у, Уі = f, Уі =J и, значит,
§ 3.3. Плотность вероятности двумерной случайной величины
1. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
Определение. Плотностью вероятности (плотностью распределения) непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т. е.
Геометрически плотность вероятности двумерной случайной величины (X, Y) представляет собой поверхность в пространстве Oxyz., которую называют поверхностью распределения.
