Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Баврин И.И. -> "Теория вероятностей и математическая статистика" -> 24

Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.

Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика — М.: Высшыя школа, 2005. — 160 c.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnostiimatstatistika2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 51 >> Следующая


і 1 <1 і г Ф(—х) =-p= \е~ Idt = --±=\ e'~dz = -ф(х)

Я* о

(t = -Z, dt = -dz).

Пример 2. Вероятность того, что изделие не прошло проверку ОТК, р = 0,2. Найдем вероятность того, что среди 400 случайно отобранных изделий окажутся непроверенными от 70 до 100.

Здесь л = 400, к = 70, /= 100, р= 0,2, q= 0,8. Поэтому в силу равенств (2.44) X* =-1,25, Xi = 2,5 и, согласно формуле (2.46),

/>400(70, 100) = Ф(2,5) - Ф(-1,25) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

Замечание. Отметим, что локальную и интегральную предельные теоремы Лапласа иногда еще называют локальной и интегральной предельными теоремами Муавра* — Лапласа.

3. Распределение случайных ошибок измерения. Пусть проводится измерение некоторой величины. Разность х- а между результатом измерения X и истинным значением а измеряемой величины называется ошибкой измерения. Вследствие воздействия на измерение большого количества факторов, которые невозможно учесть (случайные изменения температуры, колебание прибора, ошибки, возникающие при округлении и т. п.), ошибку измерения можно считать суммой большого числа независимых случайных величин, которая по центральной предельной теореме должна быть распределена нормально. Если при этом нет систематически действующих факторов (например, неисправности приборов, завышающих при

* Авраам Муавр (1667—1754) — английский математик.

69 каждом измерении показания), приводящих к систематическим ошибкам, то математическое ожидание случайных ошибок равно нулю.

Итак, принимается положение: при отсутствии систематически действующих факторов ошибка измерения есть случайная величина (обозначим ее через Т), распределенная нормально, причем ее математическое ожидание равно нулю, т. е. плотность вероятности величины T равна

і JL

<W2ie

где о — среднеквадратическое отклонение величины Т, характеризующее разброс результатов измерения вокруг измеряемой величины.

Результат измерения также есть случайная величина (обозначим ее через X), связанная с T зависимостью X= а + Т. Отсюда: M(X) = а, а(Х) = а(Т) = а и ArHMeeT нормальный закон распределения.

Заметим, что случайная ошибка измерения, как и результаты измерения, всегда выражается в некоторых целых единицах, связанных с шагом шкалы измерительного прибора; в теории удобнее считать случайную ошибку непрерывной случайной величиной, что упрощает расчеты.

При измерении возможны две ситуации:

а) известно о (это характеристика прибора и комплекса условий, при которых проводятся измерения), требуется по результатам измерений оценить а;

б) о не известно, требуется по результатам измерений оценить а и о.

Рассмотрению этих ситуаций при проведении физических измерений будет посвящен § 4.3.

Упражнения

1. Пусть случайная величина X— число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найдите закон распределения случайной величины X.

X 1 2 3 4 5 6
P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6
2. В денежной лотерее выпушено 100 билетов. Разыгрываются 1 выигрыш в SOO р. и 10 выигрышей по 10 р. Найдите закон распределения случайного выигрыша А" для владельца одного лотерейного билета.
X 0 10 500
P 0,89 0,1 0,01

70 3. Закон распределения случайной величины X задан таблицей:

X 1 2 3
P 0,3 0,2 0,5

Найдите математическое ожидание случайной величины X. [2,2]

4. Найдите математическое ожидание выигрыша X в упражнении 2.

[6 р.]

5. Найдите математическое ожидание случайной величины X, зная закон ее распределения:

X 2 3 5
P 0,3 0,1 0,6

[3,9]

6. Проводятся 2 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными />і = 0,4; />2 = 0,3. Найдите математическое ожидание общего числа попаданий. [0,7]

7. Найдите математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей. [7]

8. Найдите математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

[12,25]

9. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

X 2 4 5 Y 7 9
P 0,1 0,3 0,6 P 0,8 0,2

Найдите математическое ожидание случайной величины XY. [32,56]

10. Найдите дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

X 1 2 5
P 0,3 0,5 0,2

[2,01]

11. Известны дисперсии двух независимых случайных величин X, Y: D(X) = 4, D(Y) = 3. Найдите дисперсию суммы этих величин. [7]

12. Дисперсия случайной величины X равна 5. Найдите дисперсию следующих величин: a) X- 1; б) -2Х; в) ЗА"+ 6.

[а) 5; б) 20; в) 45]

13—15. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин, заданных различными законами распределения:

71 13.

X -2 -1 0 1 2
P 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1
14. [M(X) = 0,1 и D(X) =
X 1 3 4 6 7
P 0,1 0,1 0,3 0,4 0,1
15. [M(X)= 4,7 и D(X) =

X 5 7 10 15
P 0,2 0,5 0,2 0,1

[M(X) = 8 и />(*) = 8]

16. К случайной величине прибавили постоянную а. Как при этом изменяется ее: а) математическое ожидание; б) дисперсия?

[а) прибавится а; б) не изменится]

17. Случайную величину умножили на а. Как при этом изменятся: а) математическое ожидание; б) дисперсия?
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 51 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed