Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
Найдем вероятность того, что при п испытаниях событие А наступит т раз (т < п).
Пусть событие А наступило в первых т испытаниях т раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения:
AA...A AA...А.
т раз п - т раз
Общее число сложных событий, в которых событие А наступает т раз, равно числу сочетаний из п элементов по т элементов. При этом вероятность каждого сложного события оказывается равной PfnCf m. Так как указанные сложные события являются несовместимыми, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Итак, если Рп(т) есть вероятность появления события А т раз в п испытаниях, то
Р„(т) = CZpnq"-",
или
Формула (2.6) называется формулой Бернулли.
Пример 1. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найдем вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.
а) В данном случае п = 4, т = Ъ, р = 0,9, ^=I-/» = 0,1.
* Якоб Бернулли (1654—1705) — швейцарский математик.
45 Применяя формулу Бернулли, получим
Я (3) = 3? (0,9)^0,1 = 0,2916.
б) Искомое событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей P(A) = Р4(3) + PM)- Но Д(4) = (0,9)4 = 0,6561. Поэтому P(A) = 0,2916 + + 0,6561 = 0,9477.
Снова рассмотрим п независимых испытаний, в каждом из которых наступает событие А с вероятностью р. Обозначим через X случайную величину, равную числу появлений события А в п испытаниях.
Понятно, что событие А может вообще не наступить, наступить 1 раз, 2 раза и т. д. и, наконец, наступить п раз. Следовательно, возможными значениями величины X будут числа 0, 1, 2, ..., л— 1, п.
По формуле Бернулли можно найти вероятности этих значений:
Р„(0) = Qq- = Я"\ Pn(X)=Qq-^p-,
Рп(п) = р".
Запишем полученные данные в виде таблицы распределения:
X 0 1 т п
P <г Clpq-* с, Pmq" -" Pn
Построенный закон распределения дискретной случайной величины X называется законом биномиального распределения.
Найдем M(X) для биноминального распределения. Очевидно, что X, — число появлений события А в каждом испытании — представляет собой случайную величину со следующим распределением:
X, 0 1
Pt Я P
Поэтому M(X1) = 0 • <7 + 1 р=р. Но так как X= X1 + ... + Xn, то М(Х) = пр.
Найдем далее D(X) и G(Ar). Так как величина X} имеет распределение
х? O2 і2
р, q р
то М(Х/2) = 02q+ V р = р. Поэтому
D(X1) = М(Х2) -M2(X1) = р-р2 = р(ї-р) = рд.
46 Наконец, в силу независимости величин X,, X2, ..., Xn
D(X) = D(Xi) + D(X2) + ... + D(Xn) = npq. Отсюда для биноминального распределения
C(Ar) = -Jnpq.
Пример 2. Монета брошена 2 раза. Напишем в виде таблицы закон распределения случайной величины X— числа выпадений герба.
Вероятность появления герба в каждом бросании монеты р = Y2. Следовательно, вероятность непоявления герба ? = 1 -Yi = Yi- При двух бросаниях монеты герб может либо совсем не появиться, либо появиться 1 раз, либо появиться 2 раза. Таким образом, возможные значения X таковы: х, =0, X2= 1, X3 = 2. Найдем вероятность этих возможных значений по формуле Бернулли:
Ptu-JL I 1-І.
14! 2'2 2'
мм-
Тогда искомый закон распределения будет иметь вид:
X 0 1 2
P 1 4 1 2 1 4
Пример 3. (Первая игра де Мерэ*.) Игральная кость бросается четыре раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет шесть очков. Какова вероятность выигрыша для рыцаря?
Решение. Вероятность выпадения шестерки при одном бросании игральной кости равна | (см. § 1.1, п. 3, пример 4). Значит,
вероятность ее невыпадения при одном бросании равна 1 - j = (противоположное событие). Тогда вероятность невыпадения шестерки при четырех бросаниях, согласно формуле Бернулли,
Значит, вероятность выигрыша для рыцаря есть
625
1-
1296
S -0,518.
* Страстный игрок в кости рыцарь де Мерэ хотел разбогатеть при помощи этой игры, и для этого он придумывал различные усложненные правила игры.
47 Это значит, что чем больше рыцарь играл, тем больше он выигрывал. Оказываясь постоянно в проигрыше, противники рыцаря перестали играть с ним по этим правилам.
Пример 4. (Вторая игра де Мерэ.) Две игральные кости бросаются 24 раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадут две шестерки. Какова вероятность проигрыша для рыцаря?
Решение. При одном одновременном бросании двух игральных костей вероятность выпадения двух шестерок равна а вероятность того, что не выпадут две шестерки, равна Ц. Тогд; вероятность того, что при 24-х одновременных бросаниях дву: игральных костей ни разу не выпадут две шестерки, согласно фор муле Бернулли,
= щ^гщШШГ" = (Hf - 0.509.
т.е. вероятность проигрыша для рыцаря была больше Это значит, что чем больше рыцарь будет играть, тем больше он будет проигрывать. Когда так и случилось, рыцарь разорился и обратился к Паскалю за разъяснениями. Паскаль успешно раскрыл математические тайны правил двух игр рыцаря де Мерэ.
Пример 5. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80% случаев. Какова вероятность того, что из 5 больных выздоровят 4?
