Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
46. Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: а = 164 см, а = 5,5 см. Найдите плотность вероятности этой величины.
, (JT- 164Я
47. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 0 и 2. Найдите вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (-2; 3). [0,77453]
48. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 6 и 2. Найдите вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (4; 8). [0,6826]
49. Пусть масса пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами: а= 375 г; а = 25 г. Найдите вероятность того, что масса пойманной рыбы будет от 300 до 425 г. [0,9759]
50. Диаметр детали, изготовляемой в цеху, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, а математическое ожидание — 2,5 мм. Найдите границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.
[2,47; 2,53]
51. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,4. Найдите вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3. [0,5468]
52. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 2. Найдите вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,1. [0,03988)
53. Случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием 30 и дисперсией 100. Найдите вероятность того, что значение случайной величины заключено в интервале (10; 50).
[0,954]
76 54. Найдите дисперсию случайной величины X, заданной таблицей распределения:
X 2 3 5
P 0,1 0,6 0,3
[1,05]
55. При выработке некоторой массовой продукции вероятность появления одного нестандартного изделия составляет 0,01. Какова вероятность того, что в партии из 100 изделий этой продукции 2 изделия будут нестандартными? [0,184]
56. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что одна деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных?
[0,003]
57. Игральную кость бросают 80 раз. Определите вероятность того, что цифра 3 появится 20 раз. [0,0162]
58. При установившемся технологическом режиме завод выпускает в среднем 70% продукции первого сорта. Определите вероятность того, что из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760.
[0,99945]
59. Вероятность наступления случайного события при отдельном испытании равна р. Определите вероятность того, что в и испытаниях событие наступит подряд к раз. [(и-?+ 1)р*(1 -/г)"-*]
60. Подсчитайте при одновременном бросании и игральных костей количество исходов, в которых определенная грань встречается к раз.
[5-*С*] ГЛАВА III
ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 3.1. Понятие о двумерной случайной величине
В различных практических приложениях встречаются случайные величины, возможные значения которых определяются не одним числом, а несколькими. Так, при вытачивании на станке цилиндрической детали ее размеры (диаметр основания и высота) являются случайными величинами. Таким образом, здесь мы имеем дело с совокупностью (системой) двух случайных величин, называемой двумерной случайной величиной и обозначаемой через (X, Y). Каждая из величин XnY называется составляющей (компонентой) такой системы.
Различают дискретные (составляющие этих величин дискретные величины) и непрерывные (составляющие этих величин непрерывные величины) двумерные случайные величины.
Аналогично л-мерную случайную величину можно рассматривать как систему п случайных величин. Например, трехмерная величина (X, Y, Z) определяет систему трех случайных величин X, Y, Z
На практике чаще приходится встречаться с двумерными случайными величинами. Поэтому ограничимся их рассмотрением, хотя все положения, касающиеся двумерных случайных величин, могут быть распространены и на и-мерные случайные величины. Геометрически двумерная случайная величина {X, Y) интерпретируется как случайная точка на плоскости.
Аналогично одномерной дискретной случайной величине, законом распределения дискретной двумерной случайной величины (X, У) называют перечень возможных значений этой величины, т. е. пар чисел (х„ У;), И ИХ вероятностей P(X= X1, Y=y)=p(x„ у) =р,J ('= 1, 2, ..., п; j= 1, 2, ..., т). Обычно закон распределения этой величины задают в виде таблицы. Ее общий вид
X Y Уі Уг У•
Xl Pit Ptl Pln
Xi Pi і Pa Plm
Xn Prt рл Pim
78 Здесь, например, рп есть вероятность того, что двумерная величина (X, Y) примет значение (хь _у2).
Так как события (X=X1, Y= yj) (/=1, 2, ..., n;j=l, 2, ..., т) образуют полную группу несовместимых событий, то сумма всех вероятностей, помещенных в таблице, равна единице (§ 1.3, п. 1, следствие 1), т. е.
