Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Баврин И.И. -> "Теория вероятностей и математическая статистика" -> 22

Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.

Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика — М.: Высшыя школа, 2005. — 160 c.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnostiimatstatistika2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 51 >> Следующая


В заключение заметим, что нормальное распределение вероятностей имеет в теории вероятностей большое значение. Нормальному закону подчиняется вероятность при стрельбе по цели, его используют в теории погрешностей физических измерений и т. п.

§ 2.8. Закон больших чисел 1. Неравенство Чебышева.

Лемма. Пусть X — случайная величина, принимающая только неотрицательные значения, тогда

Р(Х>\)^М(Х). (2.29)

Доказательство. Для простоты докажем это утверждение для дискретной величины X, принимающей случайные значения х,, х2, ..., х„, при условии х, > 0. По теореме сложения вероятностей для несовместимых событий (§ 1.3, п. 1) имеем

Р(Х> = P(X = X1),

х,>1

где суммирование распространено на все значения х„ большие или равные единице. Но для х, > 1 очевидно,

Р(Х= X,) < X1 Р(Х= X1).

Поэтому

Р(Х > 1) = X р(х = *.) < *>)• (2-30)

JCj 1 ЛС, > I

Добавим к правой части неравенства (2.30) сумму Y^xlP(X = Xl),

Xf <1

где х, <1. Эта сумма неотрицательна, так как х, >0 по условию, а вероятность P(X=X1) > 0. Поэтому

X х,Р(Х = xt) < ?х,Р(Х = X,) + X х,Р(Х =X1) = Y, х,Р(Х = X1). (2.31)

x/>i XlKl /=1

63 Последняя сумма распространена на все значения х„ принимаемьк случайной величиной X. Следовательно (см. § 2.2, п. 1),

^X1P(X = X1) = M(X).

Отсюда, сопоставляя соотношения (2.30) и (2.31), получаем искомое неравенство (2.29).

Теорема. Для любой случайной величины X при каждом положительном числе є имеет место неравенство

D(X)

Р(\Х -M(X)I > є) <

(2.32)

Неравенство (2.32) называется неравенством Чебышева*. Доказательство. Так как событие | X- M(X) \ > є равносильно событию

(X-M (X))2

>1

то

P [\Х -M(X)I >е]=Р

(X-M (X))2

>1

Случайная величина [Х- М(Х)]2/г2 неотрицательна, и, значит, согласно лемме, свойству 2 математического ожидания (§ 2.2, п. 2) и определению дисперсии (§ 2.3, п. 1)

(Х-М(Х))2

>1

< M

(Х-М(Х))2

= ±М{(Х -M(X))2] =

D(X)

Поэтому

р[\Х-М(Х)\>г]<*?>.

Пример. Пусть случайная величина X имеет ZJ(Ar) = 0,001. Какова вероятность того, что она отличается от M(X) более чем на 0,1?

По неравенству Чебышева

Р(\Х - M(X)| > 0,1) <

D(X) 0,001

0,12

0,01

= 0,1.

Примечание. Отметим другую форму неравенства Чебышева. Так как событие, выражаемое неравенством \Х-M(X)I < є противоположно событию, выражаемому неравенством \Х - М(Х)\> е., то (§ 1.3, п. 1, следствие 2)

Р(\Х-М(Х)\<г) + Р(\Х-М(Х)\>г) = \.

* П. JI. Чебышев (1821 —1894) — выдающийся русский математик.

64 Отсюда с учетом неравенства (2.32) получаем такую форму неравенства Чебышева:

Р(\Х - M(Af) | < є) > 1 --^p-- (2.33)

2. Закон больших чисел Чебышева. Докажем закон больших чисел в широкой и удобной для практики форме, полученной П. JI. Че-бышевым.

Теорема (теорема Чебышева; закон больших чисел). Если дисперсии независимых случайных величин Xh X2, ..., Xn ограничены одной и той же постоянной с, D(X1) < с, /= 1, 2, ..., п,то каково бы ни было є > 0, вероятность выполнения неравенства \ X - М(Х) \ < є, где X = Xcp = (X, + X2 + ... + Х„)/п, будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин п достаточно велико, т. е.

IimP(IJ-AZ(J)HE) = I. (2.34)

л-*«

Доказательство. Применяя неравенство Чебышева (2.33) к величине X, имеем

Р(\Х-М(Х)\<г)>\-^р-. (2.35)

Пользуясь свойствами дисперсии (§ 2.3, п. 2) и условием теоремы, получим

D(X) = -I-(Z)(Af1) + ... + D(Xn)] =

п? /Iа Л

Отсюда с учетом неравенства (2.35) и того, что вероятность любого события не превосходит единицы (§ 1, п. 3), получим

\> Р(\Х -М(Х)\<г)>\--^. (2.36)

Наконец, переходя в неравенстве (2.36) к пределу при п -»приходим к искомому соотношению (2.34).

Частный случай теоремы Чебышева. Если все Xk имеют одинаковое математическое ожидание M(X1) = ... = M(Xn) = а и D(Xk) < с, k = 1, ..., п, то

Iim Р(\Х-а\ < є) = 1. (2.37)

и-»«

Действительно, в условиях рассматриваемого частного случая равенство (2.34) имеет вид (2.37).

Сущность теоремы Чебышева состоит в следующем. Несмотря на то, что каждая из независимых случайных величин Xk может принять значение, далекое от математического ожидания M(Xk), среднее арифметическое X достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью весьма близко к среднему арифметическому их математических ожиданий.

5 - 4857

65 Теорема Чебышева имеет громаднейшее практическое значение. Пусть, например, измеряется некоторая физическая величина. Обычно принимают в качестве искомого значения измеряемой величины среднее арифметическое результатов нескольких измерений. Можно ли считать такой подход верным? Теорема Чебышева (ее частный случай) отвечает на этот вопрос положительно.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, согласно которому по сравнительно небольшой случайной выборке выносят суждение, касающееся всей совокупности исследуемых объектов.

Из теоремы Чебышева (частный случай) следует теорема Бернулли, являющаяся простейшей формой закона больших чисел.
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 51 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed