Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
51 § 2.5. Непрерывные случайные величины
1. Интегральная функция распределения. Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя построить таблицу распределения. Поэтому непрерывные случайные величины изучаются другим способом, который мы и будем рассматривать.
Пусть X— непрерывная случайная величина с возможными значениями из некоторого интервала (а; Ь) и х — действительное число. Под выражением Х<х понимается событие «случайная величина X приняла значение, меньшее х». Вероятность этого события Р(Х<х) есть некоторая функция переменной х:
F(x) = P(X <х).
Определение. Интегральной функцией распределения (или кратко функцией распределения) непрерывной случайной величины X называется функция F(x), равная вероятности того, что X приняла значение, меньшее х:
F(x) = P(X<x). (2.7)
F(x) — это геометрический смысл этого равенства: вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Отметим, что функция распределения совершенно так же определяется для дискретных случайных величин.
Укажем свойства, которыми обладает функция F(x).
1. О < F(x) < 1.
Это свойство следует из того, что F(x) есть вероятность.
2. F(x) — неубывающая функция, т. е. если X1 <х2, то Tr(Xi) < F(X2).
Доказательство. Предположим, что х,<х2. Событие «X
примет значение, меньшее х2» можно представить в виде суммы двух несовместимых событий: «X примет значение, меньшее х,» и «X примет значение, удовлетворяющее неравенствам х,<Л'<х2». Обозначим вероятности последних двух событий соответственно через Р(Х<х|) и Р(хх < Л'<х2). По теореме о вероятности суммы двух несовместимых событий имеем
Р(Х<х2) = Р(Х<Х\) + Р(ху < Л'<х2), откуда с учетом равенства (2.7)
Р(х, < Х< X2) = F(X2) - F(X]). (2.8)
Так как вероятность любого события есть число неотрицательное, то P(xf < Х<х2) > 0 и, значит,
F(X2) > F(X1).
Формула (2.8) утверждает свойство 3.
52 3. Вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал [а\ Ь) равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах интервала (а; Ь):
P(a <X<b) = F(b) - F(a). (2.9)
В частности, в случае полуинтервала [х; х + Дх)
Р(х< X<x+Ax) = F(x + Ax)~ F(x). (2.9')
Пример. Пусть случайная величина X задана функцией распределения:
О при X < -1;
F(x) =
j + \ при - 1 < X < 3; 1 при X > 3.
Найдем вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее полуинтервалу [0; 2).
x 1
Так как на полуинтервале [0; 2) F(x) = + то Р(0 < X < 2) = F(I) - F(O) = \ + \ - і = і.
В дальнейшем случайную величину будем называть непрерывной, если ее функция распределения непрерывна с непрерывной или кусочно-непрерывной производной.
4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю:
Р(Х=х,) = 0. (2.10)
Доказательство. Положив в (2.9') X2 =Xi + Дх, будем иметь />(х, <Х<х, + Ах) = F(x, + Дх) - F(X1). (2.11)
Так как F(X)-HenpepbiBHafl функция, то, перейдя в (2.11) к пределу при Дх-»0, получим искомое равенство (2.10).
Из свойства 4 следует свойство 5.
5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент и полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы:
Р(а <Х<Ь) = P(a<X<b) = Р(а<Х<Ь) = Р(а<Х< Ь). (2.12)
6. Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (а; Ь), то: 1) F(x) = 0 при х<а; 2) F(x) = 1 при х> Ь.
Доказательство. 1) Пусть Xi < а. Тогда событие Х< Xi невозможно, и, следовательно, вероятность его равна нулю. 2) Пусть X2 > Ь. Тогда событие Х< X2 достоверно, и, следовательно, вероятность его равна 1.
53 Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:
F(-о=) = Iim F(x) = 0; = lim F(x) = 1.
X —»+в»
2. Дифференциальная функция распределения. Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины X (или ее плотностью вероятности, или ее плотностью распределения) называется функция f(x), равная производной интегральной функции
f(x) = F'(X).
Так как F(x) — неубывающая функция, то /(лс)>0.
Из равенства (2.9') с учетом неравенства F(x+Ax) - F(x) = F'(x)Ax, справедливого для малых |Ах|, и свойства 5 (п. 1) имеем
Р(х < Х< X + Ах) = F'(x)Ax
или
Р(х < Х< X + Ах) =/(х)Ах
(для малых Ах), т.е. вероятность попадания случайной величины X в интервал (х; х + Ах) при малых Ax приближенно равна произведению ее плотности вероятности в точке X на длину этого итервала. Имеет место и следующая теорема.
Теорема. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал (а; Ь) равна определенному интегралу от ее плотности вероятности, взятому в пределах от а до Ь:
ь
P(a<X<b)=jf(x)dx. (2.13)
а
Доказательство. Так как F(x) является первообразной для Z(x), то на основании формулы Ньютона — Лейбница имеем
ь
Jz (*) dx = F(b)-F(a). (2.14)
а
Теперь с учетом соотношений (2.9), (2.12), (2.14) получим искомое равенство.
