Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Z= X+ 2 Y, если известны математические ожидания случайных величин X и Y: M(X) = S, M(Y) = 3.
Используя свойства 3 и 2 математического ожидания, получим.
M(Z) = M(X+ 2 Y) = M(X) + М(2 Y) = = М(Х) + 2М( К) = 5 + 2 - 3 = 11.
Пример 2. Найдем математическое ожидание случайной величины Z=2X-Y, если заданы математические ожидания случайных величин XkY: M(X) = 4; M(Y) = 6.
Используя свойства 5 и 2 математического ожидания, получаем
M(Z) = М(2Х- Y) = М(2Х) -M(Y) = = 2М(Х) - Л/( У) = 2 ¦ 4 - 6 = 2.
Пример 3. Пусть независимые случайные величины заданы законами распределения:
X 1 2 Y 0,5 1
P 0,2 0,8 P 0,3 0,7
Требуется найти математическое ожидание случайной величины XY.
38Сначала найдем математические ожидания каждой из данных величин:
M(X) = 1- 0,2 + 2 -0,8 = 1,8;
M(Y) = 0,5 0,3+ 1 0,7 = 0,15 + 0,7 = 0,85.
Случайные величины X и Y независимы, поэтому искомое математическое ожидание
M(XY) = M(X)M(Y) = 1,8 • 0,85 = 1,53.
§ 2.3. Дисперсия дискретной случайной величины
1. Понятие дисперсии. Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере. Пусть заданы две дискретные случайные величины X и Y своими законами распределения:
X -2 0 2
P 0,4 0,2 0,4
Y -100 0 100
P 0,3 0,4 0,3
M(X) =-2 • 0,4 + 0 • 0,2 + 2 • 0,4 = 0,0;
М( Y) = -100 • 0,3 + 0 • 0,4 + 100 • 0,3 = 0,0.
Несмотря на то что МО величин X и У одинаковы, возможные значения величин X и Y «разбросаны» или «рассеяны» около своих МО (средних значений) по-разному: возможные значения величины X расположены гораздо ближе к своему МО, чем значения величины Y.
Вот еще один пример. При одинаковой средней величине годовых осадков одна местность может быть засушливой и неблагоприятной для сельскохозяйственных работ (нет дождей весной и летом), а другая — благоприятной для ведения сельского хозяйства.
Настоятельным является необходимость введения новой числовой характеристики случайной величины, по которой можно было бы судить о «рассеянии» возможных значений этой случайно величины.
Пусть задана дискретная случайная величина Х\
X Xi Xi Xn
P Pt Pi Pn
Определение 1. Отклонением случайной величины X от ее Математического ожидания M(X) (или просто отклонением случай-Ной величины X) назывется случайная величина X- M(X).
39Видно, что для того, чтобы отклонение случайной величины X приняло значение х, - M(X), достаточно, чтобы случайная величина X приняла значение х,. Вероятность же этого события равна следовательно, и вероятность того, что отклонение случайной величины Ar примет значение х, - M(X), также равна рх. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения случайной величины X. Используя это, запишем закон распределения отклонения случайной величины X:
X- M(X) Xi - M(X) X2-M(X) х„- M(X)
P Pl Рг Pr
Вычислим теперь МО отклонения X- M(X). Пользуясь свойствами 5 и 1 (§ 2.1, п. 2), получим
M[Х- M(X)] = M(X) - M(X) = 0.
Следовательно, справедлива следующая теорема.
Теорема. Математическое ожидание отклонения X-M(X) равно нулю:
M [Х- M(X)] = 0.
Из теоремы видно, что с помощью отклонения X- M(X) не удается определить среднее отклонение возможных значений величины X от ее математического ожидания, т. е. оценить степень рассеяния величины X. Это объясняется взаимным погашением положительных и отрицательных возможных значений отклонения. Однако можно освободиться от этого недостатка, если рассматривать квадрат отклонения случайной величины X.
Запишем закон распределения случайной величины [Х- M(X)]2 (рассуждения те же, что и в случае случайной величины X-M(X))-.
\х- M(X)Y Ixi - M(X)Y Ix2 - M(X)Y Ixn-M(X)Y
р Pt Рг Pn
Определение 2. Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое отклонение квадрата отклонения случайной величины Xoi ее математического отклонения (среднего значения):
D(X) = M[(X- M(X))2]. Из закона распределения величины [Ar- M(X)]2 следует, что D(X) = [X, - M(X)\2pi + [х2 - M(X)Yp2 + ... + [Хп - M(X)Ypn.
40Пример. Пусть случайная величина X задана своим законом распределения:
X 1 3 6 7 9
P 0,2 0,2 0,3 0,1 0,2
Найдем D(X). Имеем:
M(X) = 1 • 0,2 + 3 ¦ 0,2 + 6 ¦ 0,3 + 7 ¦ 0,1 + 9 ¦ 0,2 = 5,1; [*, - M(X)Y = [1-5,1]2 = 16,81; [х2 -M(X)Y =[3-5,1]2 = 4,41; [X3-M(X)Y = [6-5,1]2 = 0,81; [х,-M(X)Y = [7 -5,1]2 = 3,61; [X5-M(X)Y = [9-5,1]2 =15,21.
Таким образом, закон распределения случайной величины [Х- M(X)Y выразится таблицей:
[х- M(X)Y 16,81 4,41 0,81 3,61 15,21
P 0,2 0,2 0,3 0,1 0,2
Отсюда
U(Ar)= 16,81 • 0,2+4,41 ¦ 0,2 + 0,81 ¦ 0,3 + 3,61 • 0,1 + 15,21 ¦ 0,2 = 7,89.
2. Свойства дисперсии дискретной случайной величины.
1. Дисперсия дискретной случайной величины X равна разности между математическим ожиданием квадрата величины X и квадратом ее математического ожидания:
D(X) = M(X2)-M1(X).
Действительно, используя свойства математического ожидания, имеем: