Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Баврин И.И. -> "Теория вероятностей и математическая статистика" -> 15

Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.

Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика — М.: Высшыя школа, 2005. — 160 c.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnostiimatstatistika2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 51 >> Следующая


Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Z= X+ 2 Y, если известны математические ожидания случайных величин X и Y: M(X) = S, M(Y) = 3.

Используя свойства 3 и 2 математического ожидания, получим.

M(Z) = M(X+ 2 Y) = M(X) + М(2 Y) = = М(Х) + 2М( К) = 5 + 2 - 3 = 11.

Пример 2. Найдем математическое ожидание случайной величины Z=2X-Y, если заданы математические ожидания случайных величин XkY: M(X) = 4; M(Y) = 6.

Используя свойства 5 и 2 математического ожидания, получаем

M(Z) = М(2Х- Y) = М(2Х) -M(Y) = = 2М(Х) - Л/( У) = 2 ¦ 4 - 6 = 2.

Пример 3. Пусть независимые случайные величины заданы законами распределения:

X 1 2 Y 0,5 1
P 0,2 0,8 P 0,3 0,7

Требуется найти математическое ожидание случайной величины XY.

38 Сначала найдем математические ожидания каждой из данных величин:

M(X) = 1- 0,2 + 2 -0,8 = 1,8;

M(Y) = 0,5 0,3+ 1 0,7 = 0,15 + 0,7 = 0,85.

Случайные величины X и Y независимы, поэтому искомое математическое ожидание

M(XY) = M(X)M(Y) = 1,8 • 0,85 = 1,53.

§ 2.3. Дисперсия дискретной случайной величины

1. Понятие дисперсии. Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере. Пусть заданы две дискретные случайные величины X и Y своими законами распределения:

X -2 0 2
P 0,4 0,2 0,4

Y -100 0 100
P 0,3 0,4 0,3

M(X) =-2 • 0,4 + 0 • 0,2 + 2 • 0,4 = 0,0;

М( Y) = -100 • 0,3 + 0 • 0,4 + 100 • 0,3 = 0,0.

Несмотря на то что МО величин X и У одинаковы, возможные значения величин X и Y «разбросаны» или «рассеяны» около своих МО (средних значений) по-разному: возможные значения величины X расположены гораздо ближе к своему МО, чем значения величины Y.

Вот еще один пример. При одинаковой средней величине годовых осадков одна местность может быть засушливой и неблагоприятной для сельскохозяйственных работ (нет дождей весной и летом), а другая — благоприятной для ведения сельского хозяйства.

Настоятельным является необходимость введения новой числовой характеристики случайной величины, по которой можно было бы судить о «рассеянии» возможных значений этой случайно величины.

Пусть задана дискретная случайная величина Х\

X Xi Xi Xn
P Pt Pi Pn

Определение 1. Отклонением случайной величины X от ее Математического ожидания M(X) (или просто отклонением случай-Ной величины X) назывется случайная величина X- M(X).

39 Видно, что для того, чтобы отклонение случайной величины X приняло значение х, - M(X), достаточно, чтобы случайная величина X приняла значение х,. Вероятность же этого события равна следовательно, и вероятность того, что отклонение случайной величины Ar примет значение х, - M(X), также равна рх. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения случайной величины X. Используя это, запишем закон распределения отклонения случайной величины X:

X- M(X) Xi - M(X) X2-M(X) х„- M(X)
P Pl Рг Pr

Вычислим теперь МО отклонения X- M(X). Пользуясь свойствами 5 и 1 (§ 2.1, п. 2), получим

M[Х- M(X)] = M(X) - M(X) = 0.

Следовательно, справедлива следующая теорема.

Теорема. Математическое ожидание отклонения X-M(X) равно нулю:

M [Х- M(X)] = 0.

Из теоремы видно, что с помощью отклонения X- M(X) не удается определить среднее отклонение возможных значений величины X от ее математического ожидания, т. е. оценить степень рассеяния величины X. Это объясняется взаимным погашением положительных и отрицательных возможных значений отклонения. Однако можно освободиться от этого недостатка, если рассматривать квадрат отклонения случайной величины X.

Запишем закон распределения случайной величины [Х- M(X)]2 (рассуждения те же, что и в случае случайной величины X-M(X))-.

\х- M(X)Y Ixi - M(X)Y Ix2 - M(X)Y Ixn-M(X)Y
р Pt Рг Pn

Определение 2. Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое отклонение квадрата отклонения случайной величины Xoi ее математического отклонения (среднего значения):

D(X) = M[(X- M(X))2]. Из закона распределения величины [Ar- M(X)]2 следует, что D(X) = [X, - M(X)\2pi + [х2 - M(X)Yp2 + ... + [Хп - M(X)Ypn.

40 Пример. Пусть случайная величина X задана своим законом распределения:

X 1 3 6 7 9
P 0,2 0,2 0,3 0,1 0,2

Найдем D(X). Имеем:

M(X) = 1 • 0,2 + 3 ¦ 0,2 + 6 ¦ 0,3 + 7 ¦ 0,1 + 9 ¦ 0,2 = 5,1; [*, - M(X)Y = [1-5,1]2 = 16,81; [х2 -M(X)Y =[3-5,1]2 = 4,41; [X3-M(X)Y = [6-5,1]2 = 0,81; [х,-M(X)Y = [7 -5,1]2 = 3,61; [X5-M(X)Y = [9-5,1]2 =15,21.

Таким образом, закон распределения случайной величины [Х- M(X)Y выразится таблицей:

[х- M(X)Y 16,81 4,41 0,81 3,61 15,21
P 0,2 0,2 0,3 0,1 0,2

Отсюда

U(Ar)= 16,81 • 0,2+4,41 ¦ 0,2 + 0,81 ¦ 0,3 + 3,61 • 0,1 + 15,21 ¦ 0,2 = 7,89.

2. Свойства дисперсии дискретной случайной величины.

1. Дисперсия дискретной случайной величины X равна разности между математическим ожиданием квадрата величины X и квадратом ее математического ожидания:

D(X) = M(X2)-M1(X).

Действительно, используя свойства математического ожидания, имеем:
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 51 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed