Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача редукции представлений SU (т + п) по отношению к SU (т) ® SU (п) рассматривалась Хагеном и Макфарлейном. Некоторые частные случаи редукции SU (т + п) по отношению к SU (т) ® SU (я) и SU (п) по отношению к SO (л) рассмотрены Желобенко ([882], гл. XVIII). Эти задачи исследовались также Уиппманом [845].
Б. Весовые диаграммы
Пусть Tl"1 — неприводимое представление полупростой группы Ли G, соответствующее старшему весу т, и пусть Um (г) = s 1 — старший вектор в пространстве Hm (Z) представления Tl"1. Обозначая генераторы подгруппы Z (3) через Ea (Е_а), а генераторы подгруппы D —- через H1 и используя коммутационные соотношения Картана—Вейля, получаем
H\Е+аЧщ = (EiitiHi ± a (Hi) Е±а) Iim = (rrii ± a (Hi)) EhuUm. (3)
Векторы, собственные для Hi, называются весовыми векторами, а собственные значения являются компонентами веса. Следовательно, векторы E+aUm наряду с ит формально также являются весовыми векторами в пространстве представления Hm. Однако действие подгруппы Z в Hm означает [см. (2.17)], что
TzlnUm (г) = Um (ZZ0) = Um, (4)
или в инфинитезимальной форме
E^uin = 0. (5)
Значит, ввиду (3) в Hm не может быть весового вектора с весом т' — (тг + a (H1), ..., тп + a (Hn)) 1V Это объясняет термины «старший вес» и «старший вектор» для т и и,п. Пусть
V=E nyE19i ••• ?_a(s-i,E_a(s)um, s=l,2,..., (6)
1J Мы говорим, что вес т' старше чем гп, если первая неисчезающая компонента вектора tn'—т положительна. 280
Г лава 5
где генераторы Е_а и Ea расположены в произвольном порядке. Тогда из (3) вытекает
Hiv = Cmi - a«1' (Hi) - a<2> (Hi)-----a*5-1) (Hi) + a<s> (Hi)v,
(7)
т. е. каждый ненулевой вектор (6) является весовым вектором. Далее, старший вектор ит цикличен для представления Tl"1 в силу следствия 3 теоремы 2.2. Таким образом, на весовые векторы (6) натягивается пространство Hm представления TL'n.
Ввиду равенства (7) произвольный вес имеет вид
т — AjiC/., — A12Ct2 — ... — knan, (8)
где Iil — неотрицательные целые числа, а,, аа, ..., а„ — простые корни, а п — размерность подалгебры Картана. В соотношении (8) мы можем ограничиться только простыми корнями благодаря тому факту, что всякий положительный корень является суммой простых корней с неотрицательными коэффициентами. Поскольку размерность Hm конечна, число различных весов также конечно.
Оказывается удобным с каждым весом (8) ассоциировать точку в n-мерном векторном пространстве Rn. Диаграмма в R", соответствующая совокупности всех весов, называется весовой диаграммой данного представления.
Равенство (7) означает, в частности, что все генераторы Hi подгруппы Картана D диагональны в пространстве Hm. В физических приложениях, если G — группа симметрии некоторой физической системы, то генераторы H1 являются одновременно диа-гонализуемыми, а следовательно, наблюдаемыми. Например, в случае симметрии SU (3) в физике элементарных частиц в качестве генератора H1 можно взять третью компоненту изоспина, а в качестве генератора H2 — гиперзаряд. Таким образом, веса дают значения измеримых величин.
Важнейшей для приложений является задача нахождения всех весов, связанных с данным старшим весом, и их кратностей. Эта задача была решена Фрейденталем [283] и Костантом [482].
Для формулировки теоремы Фрейденталя необходимо ввести скалярное произведение корней и весов. Заметим сначала, что корни и веса являются элементами дуального пространства Я* алгебры Картана Н. С другой стороны, согласно формуле (1.4.3), для всякого К ? H* существует однозначно определяемый элемент Hk ? Н, такой, что
Х(Х) = (Нк, X) для всех Х?Н, (9)
где (•, •) — форма Киллинга алгебры L группы G. При К, р ? Я* скалярное произведение (К, р) можно определить как
(К Р) = (Нъ Яд). (10) Конечномерные представления групп Jlu
281
Поскольку G полупроста, по теореме 1.4.1 сужение формы Кил-линга на Н, а следовательно, и скалярное произведение (10) являются невырожденными. Формула Фрейденталя выражает кратность пм веса M через кратности весов M + ka, а >> 0. В более точном виде имеем:
теорема 3. кратность пм веса M в весовой диаграмме, ассоциированной со старшим весом т, дается рекуррентной формулой
[(m + r, m + r)-(M+r, M + r)]n =2% H nM+ka(M + ka, а),
ft=la>0
(П)
¦ = -5" Sa-
a>0
(Доказательство см. в [283].)
Формула (11) дает эффективный метод вычисления кратности пм веса М, начиная с пт = 1. Ясно, что в силу (8) суммирование по k в формуле (11) является конечным.
Введем теперь группу Вейля с целью дать формулу Костанта. Пусть р — вектор из весового (или корневого) пространства, и пусть a — корень. Положим
р' ее Sa(p) ee P -A^La. (12)
Поскольку Sa (а) = —а, а для р _l a Sa (р) = р, отображение a -+Sa является отражением по отношению к гиперплоскости, перпендикулярной вектору а. Ясно, что Sa = I и Sa — ортогональные преобразования, т. е.
(Sa(Vi), Sa(P2)) = 0?, р2). (13)
Порождаемая преобразованиями Sa. (аі — простые корни) линейная группа называется группой Вейля W. Если S ? W представлен произведением четного числа отражений относительно гиперплоскостей, перпендикулярных к корням, то det S = I. В противном случае det S == —1.
