Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Указание. Воспользуйтесь теоремой 8.8.1. § 8.2. Пусть H2 — пространство неприводимого представления и (2), характеризуемого старшим весом т = (т12, т22). Покажите, что представление генераторов А(, i, / = 1,2, задается формулой
Akktn = (rk —Гк-і)т (k = 1, 2), A2Im = а\ (т) т J, ArJii = b\ (т) Wi1l, 292
Г лава 5
где г0
о, rk = J}m.fc (k = 1, 2)
/=1
O1 (m) =
Ч(т) =
П (/й-/ц + 1) 1=1_
Cm-^U + IX'M-W
2
П (Zfa-Z11)
__f=l_
Ca-'ii) ('21-/11-1)
1/2
1/2
Uk — tnik — І,
1
mi
\tni2 т22 і ні i2 m22
Im11 + 1 , mi = mn— 1
§ 8.3. Пользуясь графическим методом, покажите, что тензор-
р р
иое произведение фундаментального представления 7"m, т = = (1, ..., 1, 0, ..., 0), на произвольное представление Tm, т =
р
fm
(т1г ..., тп), группы U (п) имеет следующее разложение:
' • ¦''' mI -+I ¦ ¦ ¦'' mi +I' •" • • m
T' Г'1........'і..........'р ........"").
1 < ij < "2 < • ¦ • < Ір <, П
§ 8.4. Покажите, что неприводимые представления полупростой группы Ли G образуют полугруппу по отношению к умножению старших весов.
§ 8.5. Найдите унитарные неприводимые бесконечномерные разрывные представления группы SU (и).
Указание. Возьмите разрывные представления абелевой подгруппы D группы SL (и, С), описанные в примере 5.1.3, индуцируйте их до SL (я, С), а затем сузьте их до получения представлений SU (и). Глава 9
Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля
Тензорные операторы \ Та\ и тензорно-полевые операторы {Ta (х)|, сопоставляемые с представлениями групп, играют существенную роль в квантовой теории. Такие физические величины как угловой момент J, четыре-вектор энергии-импульса P11, спин, поля и токи, отождествляются с объектами этого вида. Описание большинства физических явлений в квантовой теории сводится, следовательно, к анализу свойств определенных тензорных операторов.
В § I мы описываем основные свойства тензорных операторов и выводим теорему Вигнера—Эккарта.
В § 2 мы рассматриваем основные свойства обертывающей алгебры, которая в принципе является алгеброй тензорных операторов. Свойства инвариантных операторов, которые фактически являются простейшими тензорными операторами, даны в § 3.
Если данная группа G является группой симметрии некоторой физической системы, то спектры инвариантных операторов, сопоставляемых G, определяют наблюдаемые квантовые числа физической системы. Следовательно, с точки зрения физических приложений мы заинтересованы в том, чтобы найти в явном виде
1) множество {Ср( независимых инвариантных операторов, которые порождают кольцо инвариантных операторов в обертывающей алгебре ? алгебры Ли L группы G;
2) спектры этих независимых инвариантных операторов Cp.
В § 4 мы даем явное решение этих двух задач для всех классических простых групп Ли.
Наконец, в § 5 мы рассматриваем важное понятие обертывающего поля алгебры Ли и, в частности, знаменитую теорему Гельфанда—Кириллова о генераторах обертывающего поля.
§ 1. Тензорные операторы
В квантовой теории атомной и ядерной спектроскопии появляются множества операторов \TJm\, m —J, —J + 1, ... ¦ ••, J—1, J, которые преобразуются под действием группы вращений SO (3) как сферические гармоники Yjm (6, <р) (или как векторы состояний), т. е.1)
UglTiUs = Djmm- (g) Ti,. (1)
1I Мы используем определение тензорного оператора, данное в [854]. 294
Г лава 5
Это приводит к введению в математической физике понятия тензорных операторов. Теперь мы дадим общее определение. Поскольку мы будем иметь дело с некомпактными группами, мы делаем различие между контравариантными {Ta] и ковариант-ными \Та\ тензорными операторами.
Определение 1. Пусть g-+D(g)— конечномерное представление группы G в векторном пространстве V, и пусть \Dl\ — его матричная форма в базисе {ea}i1Ш v пространства V. Пусть g-> Ug — унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве Н.
Множество {Т^}, а = 1, 2, ..., dim D, операторов называется контравариантным тензорным оператором, если
Ul1TaUg = Dab (g) Tb, (2)
где [Dl (g)} — матричная форма представления gD (g) в V.
Итак, контравариантный тензорный оператор {Ta\ в H преобразуется как ^контравариантный вектор относительно представления g-+ D (g) в К.
Соответствующее определение тензорного оператора на уровне алгебры Ли получается при подстановке представления генераторов
D(X) = -^-D (ехр вХ) |е=о, іU (X) = Uexp ex I 0=о (3) в формулу (2). Мы находим
ItZ(X)1 Ta] = IDab(X)Tb, X?L. (4)
Замечание 1. Мы будем предполагать, что генераторы U (X), X ? L1 имеют общую плотную инвариантную область определения D с Я. Построение таких областей определения и точные определения генераторов (3) даются в гл. 11, § 1. Мы будем предполагать, что D является областью определения для операторов Ta. В этой главе мы сосредоточим внимание на алгебраических свойствах тензорных операторов, так что конкретный вид области D не имеет значения.
В общем определения (2) и (4) тензорного оператора эквивалентны, если представление алгебры Ли L группы G может быть получено из глобального представления Ug группы G путем дифференцирования. Поучительно показать также, что из (4) следует (2). Используемый здесь метод применим для многих практических вычислений. Пусть глобальное представление g-+ Ug задано формулой
