Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
cto — py = і,
(6)
изоморфна SL (2, С). Следовательно, в силу утверждения 2.4 заключаем, что характер
¦ X'
тх-тг
индуктивен относительно SL (2, С). Следовательно, по теореме 2.5 mi — та — неотрицательное целое число: ...
Двигаясь вдоль главной диагонали в (5), аналогичным образом заключаем, что /я2 — т3, ..., m„_х — тп — также неотрицательные целые числа. Это доказывает необходимость условий (3).
Обратно, когда условия (3) выполнены, функции
MZ) = L6> 8 = 6(z, g),
(7)
являются полиномами матричных элементов Zpq элемента z, степени которых равномерно ограничены по отношению к g ? G.Конечномерные представления групп Jlu
263
Действительно, характер (2) можно записать в виде
Le = Ai1Al2 ••• Д(8)
где
Ap = S1S2 - •. бр
и
Ip =-- m„ - mp+J, р = 1, 2, . . ., п, т„+1 = 0.
Согласно упражнению 3.11.6.3, Ap равно минору порядка р главной диагонали матрицы g. Следовательно, Lg является полиномом от матричных элементов элемента г~, где 8 и z~ — множители в разложении Гаусса элемента g = zg = Поэтому линейная оболочка Hl векторов (8) конечномерна, а представление Tl группы G в Hl задано при помощи формулы (4). Вектор U0 (г) = 1 является единственным элементом в H''-, который фиксирован по отношению к подгруппе Z. Значит, в силу следствия 2 теоремы 2.2 представление Tl неприводимо. Это доказывает, что условие (3) является также и достаточным.
Из этих рассуждений и из теоремы 2.2 вытекает, что неприводимое представление Tl может быть реализовано в пространстве Hl (г) полиномов на Z при помощи формулы (4).
Замечание 1. Формулу (4) можно записать в более явном виде, удобном для дальнейших вычислений. Действительно, ввиду (4)
и (8)
T1iU (г) = LiU(Zi)= Д{' (б) A^ (б") ••• Д^(б>(гг) = СZgfa (Zg) 12
(zg№
-тг
(zg)2i (zg)22
тг-т,
... (detgfMz;). (9)
Здесь был использован тот факт, что для последнего минора det (zg) = det g.
Замечание 2. Для обозначения неприводимого представления, ассоциированного со старшим весом tri = (mlt m2, ..., m„), часто используют символ /= If1, /2, ...,/«]> fk = mk — mk+i> тп+1 = 0. В последующем для старшего веса будем использовать круглые скобки, а для символа f — квадратные.
Антианалитические представления GL (п, С) реализуются в пространстве полиномов от переменных Zpq элемента г ( 2. Эти представления индуцированы характерами б -»• L6, где L6 — комплексно-аналитический целочисленный старший вес.
Произвольное вещественно-аналитическое неприводимое конечномерное представление группы GL (п, С) индуцируется ха-264
Г лава 5
рактером L1L2- Согласно равенствам (4) и (2.21), его можно записать в виде тензорного произведения
Tl' ® Tz' (10)
комплексно-аналитического и комплексно-антианалитического неприводимых представлений [см. пример 2.1, соотношение (2.29)].
Группа GL (п, С) обладает, в частности, набором одномерных представлений. Эти представления имеют вид tjptj^, где
T)(g) = detg.
С этими представлениями можно ассоциировать бесконечнознач-ные неразложимые представления
r/ J 1 IogIr1I в-if(s) [0 j
где г — комплексное число.
(И)
Б. Представления группы SL (п, С)
Пусть Tl — неприводимое представление группы GL (п, С) в пространстве Ht (Z). Формула (9) означает, что всякое неприводимое представление Tl имеет вид
Tg — (det g)m" Tg, (12)
где g ->- (det g)m" — одномерное представление GL (п, С), a Tg — снова представление GL (п, С), которое также неприводимо. Если представление g Tg сузить на SL (п, С), то получим неприводимое представление группы SL (п, С) в пространстве Hl (Z). Из равенства (12) следует, что два неприводимых представления GL (п, С) дают одно и то же представление SL (п, С) тогда и только тогда, когда они различаются некоторой степенью det g. Ввиду (9) этот факт позволяет нормировать целочисленный старший вес т = (т1л тг, ..., тп) таким образом, что тп = 0. Применяя непосредственно теорему 2.2 к SL (п, С), мы видим, что всякое комплексно-аналитическое неприводимое представление SL (п, С) является сужением некоторого представления группы GL (п, С). Следовательно, имеет место
теорема 2. Всякое неприводимое конечномерное представление Tl группы SL (п, С) определяет и в свою очередь определяется старшим весом т = (An1, т2, ..., тп_1), компонентами которого являются целые числа, удовлетворяющие условию
AM1 AH2 ... 0. (13)
Все эти представления реализуются в пространстве Hl (Z) полиномов при помощи формулы (4).Конечномерные представления групп Jlu
265
Ясно, что существуют также соответствующие комплексно-аналитические и вещественно-аналитические представления группы SL (п, С). Поскольку SL (п, С) односвязна, каждое ее неприводимое представление однозначно.
В. Представления групп GL+ (п, R) и SL (п, R)
Группа GL (п, R), в силу теоремы 3.7.1, обладает двумя связными компонентами. Комплексное расширение группы GL+ (п, R), элементы которой удовлетворяют условию det g > О, совпадает с GL (п, С). Следовательно, остановим свое внимание на группе GL+ (n, 7?). Воспользовавшись теоремами 1.3 и 1, заключаем, что всякое аналитическое неприводимое конечномерное представление GL+ (n, R) определяет и само определяется старшим весом m = (an1, ап2, ..., тп), компоненты которого — целые числа, удовлетворяющие условиям