Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 90

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 153 >> Следующая


cto — py = і,

(6)

изоморфна SL (2, С). Следовательно, в силу утверждения 2.4 заключаем, что характер



¦ X'

тх-тг

индуктивен относительно SL (2, С). Следовательно, по теореме 2.5 mi — та — неотрицательное целое число: ...

Двигаясь вдоль главной диагонали в (5), аналогичным образом заключаем, что /я2 — т3, ..., m„_х — тп — также неотрицательные целые числа. Это доказывает необходимость условий (3).

Обратно, когда условия (3) выполнены, функции

MZ) = L6> 8 = 6(z, g),

(7)

являются полиномами матричных элементов Zpq элемента z, степени которых равномерно ограничены по отношению к g ? G. Конечномерные представления групп Jlu

263

Действительно, характер (2) можно записать в виде

Le = Ai1Al2 ••• Д(8)

где

Ap = S1S2 - •. бр

и

Ip =-- m„ - mp+J, р = 1, 2, . . ., п, т„+1 = 0.

Согласно упражнению 3.11.6.3, Ap равно минору порядка р главной диагонали матрицы g. Следовательно, Lg является полиномом от матричных элементов элемента г~, где 8 и z~ — множители в разложении Гаусса элемента g = zg = Поэтому линейная оболочка Hl векторов (8) конечномерна, а представление Tl группы G в Hl задано при помощи формулы (4). Вектор U0 (г) = 1 является единственным элементом в H''-, который фиксирован по отношению к подгруппе Z. Значит, в силу следствия 2 теоремы 2.2 представление Tl неприводимо. Это доказывает, что условие (3) является также и достаточным.

Из этих рассуждений и из теоремы 2.2 вытекает, что неприводимое представление Tl может быть реализовано в пространстве Hl (г) полиномов на Z при помощи формулы (4).

Замечание 1. Формулу (4) можно записать в более явном виде, удобном для дальнейших вычислений. Действительно, ввиду (4)

и (8)

T1iU (г) = LiU(Zi)= Д{' (б) A^ (б") ••• Д^(б>(гг) = СZgfa (Zg) 12

(zg№

-тг

(zg)2i (zg)22

тг-т,

... (detgfMz;). (9)

Здесь был использован тот факт, что для последнего минора det (zg) = det g.

Замечание 2. Для обозначения неприводимого представления, ассоциированного со старшим весом tri = (mlt m2, ..., m„), часто используют символ /= If1, /2, ...,/«]> fk = mk — mk+i> тп+1 = 0. В последующем для старшего веса будем использовать круглые скобки, а для символа f — квадратные.

Антианалитические представления GL (п, С) реализуются в пространстве полиномов от переменных Zpq элемента г ( 2. Эти представления индуцированы характерами б -»• L6, где L6 — комплексно-аналитический целочисленный старший вес.

Произвольное вещественно-аналитическое неприводимое конечномерное представление группы GL (п, С) индуцируется ха- 264

Г лава 5

рактером L1L2- Согласно равенствам (4) и (2.21), его можно записать в виде тензорного произведения

Tl' ® Tz' (10)

комплексно-аналитического и комплексно-антианалитического неприводимых представлений [см. пример 2.1, соотношение (2.29)].

Группа GL (п, С) обладает, в частности, набором одномерных представлений. Эти представления имеют вид tjptj^, где

T)(g) = detg.

С этими представлениями можно ассоциировать бесконечнознач-ные неразложимые представления

r/ J 1 IogIr1I в-if(s) [0 j

где г — комплексное число.

(И)

Б. Представления группы SL (п, С)

Пусть Tl — неприводимое представление группы GL (п, С) в пространстве Ht (Z). Формула (9) означает, что всякое неприводимое представление Tl имеет вид

Tg — (det g)m" Tg, (12)

где g ->- (det g)m" — одномерное представление GL (п, С), a Tg — снова представление GL (п, С), которое также неприводимо. Если представление g Tg сузить на SL (п, С), то получим неприводимое представление группы SL (п, С) в пространстве Hl (Z). Из равенства (12) следует, что два неприводимых представления GL (п, С) дают одно и то же представление SL (п, С) тогда и только тогда, когда они различаются некоторой степенью det g. Ввиду (9) этот факт позволяет нормировать целочисленный старший вес т = (т1л тг, ..., тп) таким образом, что тп = 0. Применяя непосредственно теорему 2.2 к SL (п, С), мы видим, что всякое комплексно-аналитическое неприводимое представление SL (п, С) является сужением некоторого представления группы GL (п, С). Следовательно, имеет место

теорема 2. Всякое неприводимое конечномерное представление Tl группы SL (п, С) определяет и в свою очередь определяется старшим весом т = (An1, т2, ..., тп_1), компонентами которого являются целые числа, удовлетворяющие условию

AM1 AH2 ... 0. (13)

Все эти представления реализуются в пространстве Hl (Z) полиномов при помощи формулы (4). Конечномерные представления групп Jlu

265

Ясно, что существуют также соответствующие комплексно-аналитические и вещественно-аналитические представления группы SL (п, С). Поскольку SL (п, С) односвязна, каждое ее неприводимое представление однозначно.

В. Представления групп GL+ (п, R) и SL (п, R)

Группа GL (п, R), в силу теоремы 3.7.1, обладает двумя связными компонентами. Комплексное расширение группы GL+ (п, R), элементы которой удовлетворяют условию det g > О, совпадает с GL (п, С). Следовательно, остановим свое внимание на группе GL+ (n, 7?). Воспользовавшись теоремами 1.3 и 1, заключаем, что всякое аналитическое неприводимое конечномерное представление GL+ (n, R) определяет и само определяется старшим весом m = (an1, ап2, ..., тп), компоненты которого — целые числа, удовлетворяющие условиям
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed