Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
теорема 4. Пусть P (R), R^H* — функция разбиения, равная числу реіиений (ka, ftp, ..., kb) уравнения
R=Jj kaa, (14)
a>0
где a — положительные корни, a ka — неотрицательные целые числа. Тогда кратность пм веса М, ассоциированного со старшим весом т, дается формулой
п„= E (det S) P[S (т-\-г) — (М + г)]. (15)
S?W 282
Г лава 5
(Доказательство см. в [482].)
Формула Костанта полезна скорее в теоретическом рассмотрении. Для практических вычислений она малоэффективна, поскольку нет эффективного метода для вычисления функции разбиения P (R).
В случае алгебр ранга 2 и алгебры A3 явные выражения для функции P (R) были получены Янеки.
Другие формулы для кратностей весов, иногда более удобные для приложений, были найдены Климыком [467, 468].
В. Разложение тензорного произведения
Задача разложения тензорного произведения T ® T' неприводимых представлений T и T' топологической группы G называется задачей о «ряде Клебша—Гордана».
Рассмотрим сначала случай GL (п, С). На представлениях
г т cm,«™, s,m„
L =6, 'б2 ••• 6П"
подгруппы D определяем следующие операторы bk, k = 1, 2, ...,п: 6--6-...6^...6^ если mk_x>mk, О если mk_x = mk.
Заметим, что операторы Ьк некоммутативны. Следующая теорема дает общую формулу для разложения тензорного произведения
Tl"1 <g> Tl"1 неприводимых представлений по операторам bk.
ТЕОРЕМА 5. Пусть Tl"1 и Tl"1 — неприводимые представления группы GL (п, С), индуцированные представлениями Lm и Lm' подгруппы D соответственно. Тогда тензорное произведение Ttm 0 <g> TL'n сводится к
S ® TLm",
т"
где Lm" — слагаемые в разложении следующего детерминанта:
Гт, Гт,+1 • • ш Гт, + (гг-1)
Г Im'- Гтг-1 Гт„ • • • Гт2 + (п-2)
Vmn _ («-І) Гтп - (п-2) ••• Гт„
в котором
Tm = I] б№ • • • Vn", Tm = O для т< 0.
v,+V2+ ... +V„=m
(Доказательство см. в [8751, теорема 12.) Конечномерные представления групп Jlu
283
В дальнейшем из соображений простоты для тензорного произведения Tl"1 ® Tl"1' будем пользоваться обозначением т 0 т'.
В качестве примеров рассмотрим два важных класса тензорных произведений представлений GL (п, С).
ti)
1° Умножение вектора т на тензор
tri = (ml, rti2, . . ., т'н), min (ml — tn)) > 1. Формула (17) немедленно дает
Гі.р.....о L"1'= S1Z/"' \ ЬЛт' j----- I KLm'. (18)
Дадим теперь полезное графическое представление этих результатов. Заметим сначала, что с каждым старшим весом
m = (mb . . ., тп), m1>-m2>- ••¦ > тп, (19)
можно связать следующую диаграмму:
I I
где первая строка содержит Iti1 клеток, вторая — т2 клеток и т. д. Из (19) следует, что длины последующих строк не возрастают, а число строк не превышает п. Такие диаграммы называются допустимыми. Они находятся во взаимно однозначном соответствии со старшими весами неприводимых представлений. Эти диаграммы являются не чем иным, как схемами Юнга, характеризующими неприводимые представления группы перестановок (см. гл. 7, § 5. В).
Пользуясь схемами Юнга, мы можем изобразить равенство (18) графически, например, для т' = (3, 2, 1,0) следующим образом:
(/)
т
©т-=[]©
в
Є
© 284
Г лава 5
<0 (ft)
2 Тензорное произведение двух поливекторов: пусть т и т обозначают связанные с поливекторами старшие веса. Тогда теорема 5 немедленно дает
(Л) (О (ft) (i+l) (ft-l) (t+fe)
Г(ш ... loco ... oyLm =LmLm +Lm Lm H-----L-Lm L0. (20)
і
Этот результат также можно изобразить графически при помощи схем Юнга, например
т 12) т (х) m
©
©
©
Эти два примера наводят на мысль, что должен существовать графический метод для разложения произвольного тензорного произведения т (? т'. Действительно, в силу соотношения (16) и того факта, что компонента тг веса т представляется как длина 1-й строки в схеме Юнга, формула (17) дает допустимые схемы Юнга неприводимых представлений, входящих в разложение. Общее правило может быть установлено следующим образом: Фиксируем схему Юнга, соответствующую старшему весу т, а строки второй схемы нумеруем следующим образом, например
а а а а
Ь Ь Ь
с с
Прибавляем теперь клетки первой строки, нумеруемые а, к первой схеме всеми возможными способами, таким образом, чтобы вновь получать допустимые схемы. Затем ко всем полученным в результате схемам прибавляем клетки второй строки, потом третьей строки ит. д., требуя на каждом шаге, чтобы получающиеся схемы были допустимыми (т. е. m'k > mh-i).
Из этого множества схем исключаем те схемы, которые содержат появляющиеся в столбце одинаковые индексы. Затем выбрасываем столбцы длины п. Наконец, упорядочиваем клетки схем: начинаем с первой строки и берем клетки в порядке справа налево. Затем проходим вторую строку справа налево и т. д. Эта упорядоченная последовательность содержит клетки с индексами и пустые клетки. Если оборвать эту последовательность^ любой Конечномерные представления групп Jlu
285
точке, то количество индексов b не должно превосходить количества индексов а, количество индексов с не должно превосходить количества индексов b и т. д., считая от начала и до обрыва.
