Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 91

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 153 >> Следующая


т1 т2 ... >-тп. (14)

Пусть QrDrZr — разложение Гаусса для GL+ (п, R). Тогда неприводимое представление Tl, индуцированное одномерным представлением L подгруппы Dr, реализуется согласно формуле

Ttgu(z) = Lgu(zz), (15)

где б ? Dr и z~ ? Zr определяются из разложения g = zg =

= ISz2.

Используя аргументы, аналогичные случаю SL (п, С), мы получаем, что всякое неприводимое представление группы SL (п, R) определяет и само определяется старшим весом т = (тъ т2, ..., тп_г), компонентами которого являются целые числа, удовлетворяющие условию (13). Действие Tl в пространстве Hl (Zr) задано при помощи (4).

Г. Представления групп U (р, q), р + q = п, U (п), SU (р, q), р + q = n, SU (п) и Q (п)

Эти группы также являются вещественными формами групп GL (п, С) и SL (п, С) соответственно. Значит, при помощи тех же аргументов, что и в разделе В, получаем, что всякое неприводимое представление группы U (р, q), р + q = п, и группы U (п) характеризуется старшим весом т = (An1, т2, ..., тп), компоненты которого удовлетворяют условиям (3). Аналогично неприводимые представления групп SU (р, q), р + q = п, SU (п) и Q (п) характеризуются старшим весом т = (An1, т2, ..., тп_г), компонентами которого являются целые числа, удовлетворяющие условию (13). 266

Г лава 5

§ 4. Представления симплектических групп Sp (п, С), Sp (п, R) и Sp (п)

Симплектичесную группу Sp (и, С) можно реализовать в виде множества всех линейных преобразований n-мерного комплексного векторного пространства (л — четное, т. е. -= 2v), сохраняющих кососимметрическую форму

[Х, у] = X1IJ11 + X2IJn^ + ... + xvyv+1 — xv+1yv — ...-XnIJ1. (1) Таким образом, g ? Sp (п, С) тогда и только тогда, когда

о -s S О

о 1 go = (gT) \

где О :

(2)

и S — vx v-матрица вида

s=.

"о о

о о

0 1-

1 о

0 1

1 о

о о о о

В частности, Sp (2, С) изоморфна SL (2, С).

Разложение Гаусса группы GL (п, С) индуцирует разложение Гаусса для Sp (п, С):

Sp (п, С) = SsDsZs, (3)

гДе 3s> As и Zs — пересечения Sp (я, С) с соответствующими подгруппами группы GL (п, С). Из равенства (2) следует, что

а

6 =

о

о

является элементом из Ds, если любые два из чисел 6Ь б2, . . ., 6V, 6V+1, . . ., 6я-1, o„,

(4)

равноудаленные от середины, являются взаимно обратными, т. е. б„ = бї1, ! = бг1 и т. д. Взяв oi, ..., ov в качестве независимых параметров элемента o ? Ds, мы видим, что всякий комплексно-аналитический характер на Ds имеет вид

o—^Le = бГ'бг'2 Таким образом, имеет место

б;:4'.

(5) Конечномерные представления групп Jlu

267

теорема 1. Всякое комплексно-аналитическое неприводимое представление Tl группы Sp («, С) определяет и в свою очередь определяется старшим весом т = (іщ, tn2, ..., tnv), компонентами которого являются целые числа, удовлетворяющие условию

Iii1 > Iti2 >¦¦••> mv ^ 0. (6)

Пространство Hl (Zs) представления Tl состоит из полиномов от матричных элементов Zpq элементов z ? Zs. Представление T1 реализуется в H1 (Zs) посредством формулы

Tl6U(Z) = LiU(Z2), (7)

где б и z~ — мноокшпели в разложении Гаусса (3) элемента g = = zg = Uz-.

Доказательство. Пусть Tl — неприводимое представление Sp (п, С), индуцированное характером б -> L6 подгруппы Ds, заданным согласно (5). Пусть G1, G2, ..., Gv — последовательность подгрупп группы Sp (п, С), изоморфных SL (2, С). В частности, G1 состоит из всех линейных преобразований вида

а ?

y б

1

о

о

а ї

-p б

аб — PY = і.

(8)

Подгруппы G2, ..,, Gv_t получаются аналогично, если двигаться вдоль главной диагонали. Подгруппа Gv состоит из всех унимоду-лярных преобразований, которые действуют только на координаты Xv и xv+1. Повторяя теперь аргументы из доказательства теоремы 3.1, приходим к выводу, что все числа IU1 — Ill2,..., Itiv^ — mv, тч являются неотрицательными целыми. Это доказывает необходимость условия (6).

Предположим теперь, что т = (/H1, ..., mv) удовлетворяет условию (6). Тогда старший вес т = (тъ ..., mv, 0, ..., 0) подгруппы D группы GL (п, С) является индуктивным относительно GL (п, С) ввиду теоремы 3.1. Следовательно, характер (5) индуктивен относительно Sp (п, С) ввиду утверждения 2.4. Это доказывает, что условие (6) является также и достаточным.

Из утверждения 2.3 и соотношения (3.7) следует, что пространство представления Hl (Zs) состоит из полиномов в Zs. Тогда формула (7) следует из леммы 2.1. 268

Г лава 5

Свойства комплексно-аналитических и вещественно-аналитических неприводимых представлений группы Sp (п, С) аналогичны свойствам соответствующих представлений SL (п, С). Поскольку Sp (п, С) односвязна, есє неприводимые представления Tl группы Sp (п, С) однозначны.

Воспользовавшись теоремами 1.3 и 1, заключаем, что всякое неприводимое аналитическое представление вещественной сим-плектической группы Sp (п, R) определяет и само определяется старшим весом т = (тъ /гг2, ..., mv), компонентами которого являются целые числа, удовлетворяющие условию (6). То же справедливо для компактных симплектических групп Sp (п) = = Sp (л, С) П V (2л).
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed