Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
целые. Следовательно, компоненты ml7 ..., niv должны быть одновременно либо все целыми, либо все полу целыми числами. Это доказывает необходимость условия (8) 1°.
Предположим теперь, что условие (8) 1° удовлетворяется для некоторого веса т = (тъ т.,, ..., mv), где все т,- являются либо одновременно целыми, либо полуцелыми числами. Поскольку зеркально сопряженный характер может быть индуктивным только одновременно с исходным характером, мы можем предположить, что tnv > 0. Тогда характер подгруппы D (2v) группы GL (2v, С), заданный весом т = (тъ ..., mv, 0, ..., 0), индуктивен относительно GL (2v, С) согласно теореме 3.1. Следовательно, в силу утверждения 2.4, сужение его на SO (2v, С) является индуктивным относительно этой группы.
Случай n = 2v + 1. Доказательство проводится аналогично случаю четного п. Последнее условие в соотношении (8) 2° (тч > > 0) следует из рассмотрения подгруппы SO (3, С), состоящей из вращений, преобразующих только координаты xv. xv+1 и xv+2. Действительно, поскольку SO (3, С) локально изоморфна SL (2, С), по теореме 3.2 получаем mv > 0.
Неприводимые представления группы SO (п, С), ассоциированные со старшими весами с целочисленными компонентами, являются тензорными представлениями. Остальные представления называются спинорными представлениями. 272
Г лава 5
Наинизшие спинорные представления играют существенную роль в физике. В случае группы SO (2v 4- 1, С) нижайшее спинор-ное представление задается старшим весом
m+ = (4-, !,.-.,і). (12)
В случае SO (2v, С) существуют два нижайшие спинорные представления, а именно т+ [соотношение (12)] и
т_ = (4", 4'--г)' (13)
Эти представления зеркально сопряжены. Линейные объекты, которые преобразуются по представлениям TLm+ и TL'n~, называются спинорами первого и второго рода соответственно.
Группа SO (п, С) также обладает комплексно-антианалитическими и вещественно-аналитическими представлениями. Их свойства аналогичны свойствам соответствующих представлений группы SL(п, С).
С помощью теоремы 3.1 приходим к заключению, что теорема 2 справедлива также для связных компонент вещественных форм группы SO (я, С), т. е. SO (р, q), р + q = п, SO* (я), п — = 2v, и SO (я).
§ 6. Фундаментальные представления
Пусть G —• группа Ли, допускающая разложение Гаусса G = = QDZ. Как было показано в § 2, всякое неприводимое представление Tl"1 группы G является индуцированным представлением, а именно, оно индуцировано одномерным представлением
6-^ = 6^6^ ... б(1)
подгруппы D группы G. Компоненты старшего веса т = (ти т2, ..., тп) удовлетворяют определенным условиям, установленным нами для каждого класса классических групп.
Определение 1. Неприводимое представление Ttm называется произведением Юнга неприводимых представлений Ttm и Tl"1", если
Lem = LfLf. (2)
Из равенства (2) ввиду соотношения (2.21) вытекает, что пространство представления Htm (Z) является линейной оболочкой произведений полиномов р' (z) р" (z), где р' (z) ? Hl"1 (Z) и р" (z) ? Hl"1 (Z). Отметим разницу между этим произведением Юнга и тензорным произведением Tlт (? Tt"1', чье пространство натягивается на произведения р' (г') р" (г"). Конечномерные представления групп Jlu
273
Пользуясь понятием произведения Юнга, мы можем выразить произвольное неприводимое представление Tl"1 через совокупность наиболее простых представлений, называемых фундаментальными представлениями. В случае группы GL (я, С) в качестве фундаментальных мы можем взять следующие представления (для простоты предполагаем, что тп — целое):
m = ( 1, 0, . . 0),
т = (1, 1, 0, . . ., 0),
....................(3)
т = (1, 1, ¦ . .. 1, 0, . . 0),
іҐ
т = ( 1, 1, . . ., 1).
Из соотношения (1) очевидно, что всякое другое неприводимое представление группы GL (п, С) является произведением Юнга представлений типа (3).
В случае групп SL (п, С) и Sp (2п, С) фундаментальные веса совпадают с первыми п — 1 фундаментальными весами группы GL (п, С). В случае SO (2v + 1) фундаментальными весами являются
m = ( 1, 0, 0, . . ., 0),
m = ( 1, 1, 0, . . ., 0),
..................(4)
Vm =(1, 1.....1, 0),
V _ / J_ J_
m~~ \ 2 ' 2 ' • ' ' ' 2 ' 2/'
Последний вес соответствует сиинорному представлению. Наконец, в случае SO (2v) имеем два спинорных представления, и фундаментальные веса имеют вид
m = ( 1, 0, . . ., 0),
m = ( 1, 1, 0, . . 0),
• 2..................(5)
m2 = ( 1, 1, . . ., 1, 0, 0), 11 1 і \ 274
Г лава 5
Если воспользоваться условиями, налагаемыми на компоненты старших весов, соответствующих индуктивному характеру, то получим следующую теорему.
Теорема 1 (теорема Картана). Для всякой простой классической
і
группы Jlu G ранга п существует п фундаментальных весов т, і = 1, 2, ..., п, таких, что каждый старший вес т = (mlt тй, ..., ..., тп), соответствующий неприводимому представлению Tl"' группы G, дается линейной комбинацией
" і т = 2j fim
i=i
с неотрицательными целочисленными коэффициентами
fi=mt—tnM, г = 1, 2, . . ., п, тл+1 = 0. (6)
