Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, поскольку
Nm = %m(e), (28)
то размерность T1"1 получается предельным переходом 6 е. Другими словами, справедлива следующая теорема.
Теорема 8.
П (а, г + т) П (а, г) '
а>0
где умножение берется по всем положительным корням. (Доказательство см. в [840].)
Формула (29) в случае GL (п, С) (и, в частности, для U (п)) приобретает вид
П (U-Ii)
Nm~ пк-0 • <30>
где Ij — т,- + п — / и I0j = mj — /.
Д. Комментарии
Доказательство теоремы Ли в представленной здесь форме было получено Годеманом. Свойства представлений полупростых групп Ли исследовались Картаном [154] и Вейлем [840—842]. Возможность использования теоремы Ли в качестве средства для глобальной классификации неприводимых представлений полупростых групп Ли была продемонстрирована Годеманом. Этот подход был использован и распространен на произвольные группы Ли Желобенко [874, 875]. Здесь мы следовали подходу Желобенко.
Заметим, что всякое неприводимое представление полупростой группы Ли G индуцируется характером подгруппы D. В гл. 19 мы показываем, что бесконечномерные представления простых комплексных групп Ли также индуцируются комплексным характером L подгруппы D. Конечномерные представления групп Jlu
289
§ 9. Упражнения
§ 1.1. Покажите, что алгебра Гейзенберга
[Qm^-I = M' І, /=1, 2, . . ., Л, (1)
не имеет конечномерных неприводимых представлений.
Указание: воспользуйтесь тем фактом, что для матриц Tr IA, В) = 0.
§ 1.2. Постройте трехмерное представление алгебры Ли
[QfPl = Z1 [Q, Z] = 0, [Р, Z] = 0. (2)
§ 2.1. Пусть G = SU (2), и пусть HJ, J = 0, ± 1, .....—
пространство всех однородных одночленов степени 2J:
j
f (Z1, z2) = 1] aMz{~Mzi+M, aM?C.
M=-J
Положим
u(z) = f(z, 1), g
], сс = 6,
"ее ? у 6
Покажите, что из преобразования
TjJizl, 22) = f(azi + yz2, ?zi + 6z2) (3)
следует преобразование
(TJgu)(z) =Ofe + б)2' „ (fff), (4)
что является спинорным представлением SU (2) веса J.
§ 2.2. Покажите, что в Hj существует скалярное произведение, по отношению к которому векторы
1>аг (z) = [(/ - М)! (J + AQ \]-lpzJ-M = IJM) (5)
ортонормированы.
Указание: воспользуйтесь теоремой 7.1.1. § 2.3. Покажите, что представление (4) неприводимо в Hj и что всякое неприводимое представление SU (2) эквивалентно Tj.
§ 2.4. Покажите, что на пространстве функций и (z) из задачи 2.1 генераторы группы SU (2) заданы посредством дифференциальных операторов
і d
J _и = z2 -jg- и — 2 Jzu, (6)
і
dz
JsU = —z -$- и -f- Ju. 200
Г лава 5
§ 2.5. Пусть G = SL (2, С) и H — пространство полиномов р (г, г) степени <т по г и степени </г по г. Неприводимые спинор-ное и тензорное представления группы G размерности (т + 1) X X (п+1) в Я могут быть записаны в виде
T(g)p(z, = + + (7)
g =
a ? у 6
Рг-Н
«б —Pv = і.
Эквивалентность этой формы двухкомпонентным спинорам с индексами без точек и индексами с точками получается, если представить р (г, z) в следующем виде:
Р(г,~г)= І ^...А^.-.в/^-^г^-^, (8)
Ait B1-=O
где (т + 1) (n + 1)-мерный 2-компонентный спинор я]) симметричен по индексам Ak и симметричен по индексам Bk. Покажите, что по отношению к T (g) спиноры я|) преобразуются согласно
Va1... AmBl-КГ gAlCr ¦¦¦ ^WV1 ¦¦¦ Sb^cl... ^1-V где
gii = a, gn = ?, go- = У. §22 = 6. (9)
Замечание. Неприводимые представления SL (2, С), заданные согласно (7), обозначаются D''"- ">.
§ 2.6. Пусть Gk — матрицы Паули (см. пример 1.1.1). Покажите, что матрицы
являются генераторами представления LH'/*.0) группы Лоренца. Покажите, что матрицы
Л = 4" 0A- = — І(7а' С
являются генераторами представления D(°-1/.) группы Лоренца. § 2.7. Пусть {7ц}о — набор матриц Дирака, заданных согласно
ГО /1 ГО ok
= [ / OJ'
Yo
Покажите, что матрицы
-? 0
(12)
= \ (YnYv - YvYn) (13) Конечномерные представления групп Jlu
291
являются генераторами представления D(,/,-0) ® D<0,1/«> группы Лоренца в блочно-диагональной форме
¦0(1/а. о)(Д) о I
D(A)
О
D<°- V2) (А)
(14)
§ 2.8. Покажите, что в так называемом представлении Дирака у-матриц, заданных согласно
(15)
Г 1 Ol ¦ О
Yo = О —/ J ' Ta = oj
генераторы (13) имеют вид
Г<* о
Л = ЧіщМіт = 4"
0
Mcft =
О Oft
Ok О J
§3.1. Покажите, что SU (S)ZZ3 обладает самосопряженными представлениями только размерностей 1, 8, 27, 64, ..., я3, .... Покажите, в частности, что фундаментальные представления размерности 3 группы SU (3) (так называемые кварковые представления) не являются представлениями SU (S)IZ3.
§ 7.1. Дайте классификацию конечномерных представлений евклидовой группы T3 у) SO (3).
§8.1. Пусть Hm — пространство неприводимого представления группы и (п), характеризуемого старшим весом т — (т1п, т2п, ..., тпп). Покажите, что всякий вектор из Hm может быть представлен схемой
tnhl.............тпп
mU п-1.......тп-1, п-1
т=.......... ,
т12 т.г2
mH
где піц удовлетворяют условию mij > rnt,j_! > mi+li/, і = 1, 2, ..., п 1, / = 2, 3.....п.
