Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 95

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 153 >> Следующая


Теорема 2 имеет различные интересные следствия. В частности, справедливо

утверждение 3. Односвязная группа Ли G допускает нетривиальное неприводимое унитарное представление Tc 1 <! dim Г< Конечномерные представления групп Jlu

277

<; оо тогда и только тогда, когда фактор JIeeu Gs содержит нетривиальную компактную нормальную подгруппу.

Доказательство. По теореме 2 T = % ® Т, где т — неприводимое представление связной полупростой подгруппы Gs группы G. Тогда если Gs содержит нетривиальную компактную нормальную подгруппу К, то, выбирая х унитарным, а в качестве T неприводимое унитарное представление К, можно расширить T до Gs, и мы получаем унитарное неприводимое представление T группы G с 1 <5 dim T < оо. Если же Gs не содержит компактной нормальной подгруппы, то она является прямым произведением простых односвязных некомпактных групп. По теореме 1.2, следовательно, Gs не допускает нетривиальное конечномерное унитарное представление.

Интересно, что теорему Вейля можно обобщить на произвольные односвязные группы Ли.

Теорема 4. Представление Tg односвязной группы JIu G вполне приводимо тогда и только тогда, когда его ограничение Tr на радикал R вполне приводимо.

доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда инвариантное подпространство H1 пространства представления H и фактор-пространство HIH1 неприводимы. Если сужение Tr представления Tg на радикал R вполне приводимо, то существует пространство H2 с=: Н, дополнение подпространства H1, которое инвариантно по отношению к R. Из теоремы 1 следует, что действие радикала R в H1 и Hi сводится к умножению на характеры Xi и Ул радикала R соответственно. Если Xi =h Хг> т0 Tli является максимальным подпространством в Я, на котором действие радикала R задано посредством умножения на уЛ~, рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1, показывают, что Hi инвариантно и по отношению ко всей группе G. Следовательно, T вполне приводимо в Я.

Если X1 = X2 = X, то, полагая х (ё) = 1 (К gs}) = XWh используя соотношение (3), мы можем расширить характер % на всю группу G. Взяв затем тензорное произведение х-1 (ё) ® Tg, получаем представление G, которое тривиально на радикале. Таким образом, это дает представление полупростой группы Gs ~ GlR, которое вполне приводимо по теореме Вейля.

§ 8. Другие результаты и комментарии

Обсудим теперь вкратце ряд других результатов, важных для приложений. 278

Г лава 5

А. Сужение представления на подгруппу

Во многих физических задачах возникает следующий вопрос: какие неприводимые представления подгруппы G0 группы G входят в сужение на подгруппу G0 неприводимого представления T группы G?

Основной результат для случая GL (п, С) состоит в следующем.

Теорема 1. Неприводимое представление GL (п, С), задаваемое старшим весом т = (mlt т2, ..., тп), при сужении на подгруппу G0 ~ GL (п — 1, С) содержит все неприводимые представления G0 со старшими весами I = (I1, I2, ..., /„_,)> удовлетворяющими следующим условиям:

ті >-11 >- /т?2 > I2 > т3 :> • ¦ • > тп_г > I^1 >> тп. (1)

Каждая неприводимая компонента содержится однократно.

(Доказательство см. в [874], § 13.)

Эта теорема ввиду теоремы 3.1 справедлива также для всех вещественных форм группы GL (п, С) и, в частности, для редукции неприводимых представлений унитарной группы U (п) по отношению к U (п — 1).

Аналогичный результат имеем для ортогональных групп.

теорема 2. Неприводимое представление группы SO (2v + + 1, С), задаваемое старшим весом т = (mlt т2, ..., Wiv) с целочисленными (полуцелочисленными) компонентами, при сужении на подгруппу G0 ~ SO (2v, С) содержит все неприводимьіе представления подгруппы G0, старшие веса q = (qu q2, ..., <?v) которых удовлетворяют следующим условиям:

Wi1 ^ аЛ > mg > ^2 ^ • • • > mv > qv > —mv. (2)

Компоненты q{ являются одновременно все целыми (если Hii целые) или все полу целыми (если Wi1 полуцелые). Каждое неприводимое представление входит однократно.

Аналогично сужение неприводимых представлений группы SO (2v, С), задаваемых старшим весом т = (тг, Wi2, ..., wiv) с целочисленными (или полуцелочисленными) компонентами, содержит все неприводимые представления подгруппы G0 ~ SO (2v — 1, С), старшие веса р = (ръ р2, ..., pv_x) которых удовлетворяют соотношениям

Wi1 > P1 > Wi2 > р2 ••• ^wv1S*/V1^l mv|.

Компоненты р, являются одновременно все целыми (все полуцелыми) вместе с Wi1-. Каждое неприводимое представление входит однократно.

(Доказательство см. в [874], § 13.) Конечномерные представления групп Jlu

279

Ясно, что все утверждения теоремы 2 справедливы и для вещественных форм группы SO (п, С), в частности для вещественных ортогональных групп SO (п) и SO (р, q), р + q = п.

Аналогичные, хотя и более сложные, результаты имеют место для симплектических групп.

Доказательства этих теорем могут быть проведены различными методами. В частности, можно дать элементарное доказательство на языке схем Юнга (см. [363], гл. 10).

Техника индуцированных представлений, использовавшаяся Желобенко [874], позволяет не только изящно доказать теоремы 1 и 2, но также построить пространства, в которых реализуются неприводимые представления соответствующих подгрупп.
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed