Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
В современной литературе символ Dn If1, f2, ---,fn 1 используется для обозначения неприводимого представления размер-
1 2 п
ности N со старшим весом т = ftm + /уп + ¦ ¦ • + fnm• выраженным через фундаментальные веса. Этот символ следует отличать от символа Dn (тг, т2, ..., тп), где т, — компоненты старшего веса, определяющие индуктивный характер Lm = 6^6"2-••
б"'.. п.
п
Ввиду формулы (1) и определения 1 ясно, что представление Tl"1, соответствующее старшему весу т = {ти т2, ..., т„),
является произведением Юнга фундаментальных представле-і
ний Tl"', взятых fi раз каждое.
§ 7. Представления произвольных групп Ли
Из теоремы Леви—Мальцева мы знаем, что произвольную односвязную группу Ли G можно представить в виде полупрямого произведения
G = RH) Gs, (1)
где R — максимальная односвязная разрешимая нормальная подгруппа в G, a Gs — полупростая односвязная подгруппа в G. Подгруппа R называется радикалом группы G. Это свойство групп Ли позволяет развить теорию представлений для произвольных групп Ли, подобно случаю полупростых групп. Прежде всего покажем интересное свойство сужения Tr неприводимого представления T группы G на радикал R.
теорема 1. Пусть Te — неприводимое представление односвязной группы Jlu G, и пусть N — произвольная связная раз- Конечномерные представления групп Jlu
275
решимая нормальная подгруппа в G. Тогда для всех п ? N имеем
'/'„== X (л) Л (2)
где у ¦— характер подгруппы N, удовлетворяющий условию
У (g'1 ng) = у (п) для всех g?G. (3)
Доказательство. По теореме Ли в пространстве H представления T существует ненулевой вектор и% и характер % подгруппы N, такие, что
Тпи% — у(л)и% для всех n?N. Поскольку N — нормальная подгруппа в G, мы имеем
TnTgUx = TgTe-,TnTgUx = X (g-1 ng) Tgux, (4)
т. е. TuUx также является собственным вектором для Tn для всех п ^ N. Отсюда следует, что сужение Tn представления T0 вместе с характером % (л) содержит все характеры
У.а (") = I(S^ng).
Повторяя теперь рассуждения из доказательства теоремы Ли [после соотношения (1.3)], получаем
7. (g'1 tig) -у («) для всех g?G. (5)
Поскольку Tg неприводимо, инвариантная линейная оболочка всех векторов TgUx совпадает со всем пространством Н. Следовательно, Tn = у(п)І в силу (4) и (5).
Как следствие теоремы 1 имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Всякое неприводимое представление T односвяз-ной группы JIu G имеет вид
Т = у®Т,
где X (g) — характер G, равный единице при g d Gs и удовлетворяющий условию (3), a T — неприводимое представление полу простой группы Gs.
доказательство. Сужение Tr представления Tg на R, согласно теореме 1, задается характером х (r)> г ? R. По теореме Леви—¦ Мальцева всякое g ? G можно представить в виде g = \r, gs}, r € R, gs € Gs. Полагая % (g) = у ({л gs\) = x (У) и используя (3), мы можем расширить характер у на G. Представление группы G, задаваемое как T = у1 ® Т, тривиально на R. Значит, T задает представление фактор-группы GlR ~ Gs. Следовательно, T ~ у ® Т. Ясно, что неприводимость T подразумевает неприводимость Т.
Таким образом, задача классификации неприводимых представлений произвольной односвязной группы Ли сводится к задаче классификации характеров разрешимых групп и классифи- 276
Г лава 5
кации неприводимых представлений полупростых групп Ли. Кроме того, теория представлений полупростых групп Ли позволяет дать явную реализацию операторов Tg и пространства H неприводимого представления T группы G. Действительно, если фактор Леви Gs для G является комплексным, то всякое неприводимое представление односвязной группы Ли G реализуется по формуле
U{r gs]u(г) = x(r)LKu (zgy, g=[r, g,}?G = RH)Gs, (6)
где X — характер радикала R, удовлетворяющий равенству (3), 6 -+-L6- характер фактора Гаусса D в разложении Гаусса Gs == 3DZ, аби z~ определяются из разложения g = zgs =
= ?OZg элемента zgs. Элементами и (z) пространства представления H являются полиномы от матричных элементов Zpq матриц z ? Z.
Если фактор Леви Gs для G — вещественная полупростая группа Ли, то представление T^r, g$] группы G может быть также реализовано при помощи равенства (6); в этом случае подгруппа Z представляет собой фактор Гаусса комплексного расширения (Gs)c группы Gs.
Следующий пример показывает, что условие (3) налагает жесткие ограничения на класс допустимых характеров и, следовательно, на класс конечномерных неприводимых представлений односвязной группы Ли G.
Пример 1. Пусть G = Ti х) SL (2, С), т. е. G — группа Пуанкаре. Произвольный характер для Ti имеет вид
% (а) = ехр і pa, ра = рпа», P11CC1. (7)
Из закона группового умножения находим (g~ \b, A}, а = ja, /})
g-iag =I-A^b, A-1} {a, I\{b, A} = jA-4 /}.
Ho тогда из (3) вытекает
X (A-1Cz) = y_ (а) для всех А из SL (2, С).
Следовательно, Ар = р для всех А ввиду соотношения (7). Это возможно, только если р — нулевой вектор. Значит, % (а) = /.
Следовательно, все неприводимые конечномерные представления группы Пуанкаре являются неприводимыми конечномерными представлениями SL (2, С), поднятыми до группы Пуанкаре с помощью соотношения (6).
