Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 102

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 153 >> Следующая


Доказательство. 1°. Это утверждение следует из (10). 2°. Используя (11) и (12), получаем

Ue TUg= Slli..^ D^ig) ... D^p(g) Tv^-= = Sv1-VpT^-vP=T.

1 2

Если {Т^} и {Т^}, а = 1, 2, ..., dim D, —два контравариант-ных тензорных оператора, которые удовлетворяют соотношению (2), то, согласно определению 1,

1 2 Ta = Ta Ta

также контравариантный тензорный оператор того же вида. 1 2

Если {7^} и 17^} — два контравариантных тензорных опе-

1 2

ратора, которые преобразуются по представлениям DhD соот-

1 2

ветственно, то множество {Tab = TaTb} определяет контравариантный тензорный оператор, который преобразуется так:

^i1 TabUg = Df.b. (g) Ta'"', (11")

D0nIh- (g) = Dl- (g)D'y(g). Тензорный оператор \ТаЬ\ называется тензорным произведе-

I 2

нием тензорных операторов \Т°} и \ТЬ}.

Из тензорного произведения двух неприводимых тензорных операторов j Tml j и {7?,} можно образовать новый неприводимый тензорный оператор. Мы покажем эту конструкцию для того случая, когда G — просто приводимая компактная группа 1). Поскольку каждое представление компактной группы эквивалентно унитарному представлению, мы будем использовать только нижние индексы.

Пусть {|ЯХ; mj)\ — базис в неприводимом пространстве Н"'\ )| X2; т2)\ — базис в неприводимом пространстве и {| XJ^Xm)} — ортонормальный базис в неприводимом подпространстве H1 пространства 0 H1'. Положим

ТІ = ? (XihkmlXmlX2m2) (13)

IUlITli

где

I X1HI1Xztni) = I A1ZW1) I Х2т2). (14)

1J Компактная группа просто приводима, если в разложении тензорного произведения любых двух неприводимых представлений каждая неприводимая компонента появляется не более одного раза. Тензорные операторы, обертывающие алгебры и обертывающие поля 299

Используя соотношение (1) для Tml и Ttri2, имеем

UzTlUg = S (K1L2Krn I Kumhm) D^.fe)D^ (g) 7??. (15)

Согласно упражнению 7.3.3.1,

Du '(U)Dkl '(Р) =

= ^ (X1ZnjX2W2I KiK2Km) Dtm^ (g) (KihKtni\Kitn\htn'2). (16)

Яг I

Подставляя это выражение в (15) и используя соотношения полноты и ортогональности для векторов | К1т1К2т2) и | KlK2Km) соответственно, получаем

UglT7mUg = (g) Tm'.

Поэтому выражение (13) является неприводимым тензорным оператором.

Следующая теорема описывает основное свойство неприводимого тензорного оператора, весьма полезное для приложений.

Теорема 2 (теорема Вигнера—Эккарта). Пусть U'g< и Uk* — неприводимые унитарные представления просто приводимой компактной группы G в гильбертовых пространствах Hki и Hx' соответственно. Пусть {| I^m1)} и {| Х2т2)[—ортогональные множества базисных векторов в Hl' и HПусть {Т]„} — неприводимый тензорный оператор. Тогда

(Х2т21 Tm \ hmi) = (KKihm2 \ Kmhrni) T (К, K1, K2), (17)

где (KXlX2Tn21 XmXitnl) — коэффициент Клебша—Гордана, a T (X, X1, X2) — так называемый приведенный матричный элемент тензорного оператора {Т)'п}, задаваемый формулой

T (Х, Ki, X2) =-т— уЛ (XnKitii І ХХ1Х2П2) (X2rt21

т\ I Xmi), (18)

Пі, пг

и — размерность представления Tx'. Доказательство. В силу (7) мы имеем (hm21 Т'т \ Ximi) = Yi Dnm

(8) (hm2\ U ,1TknUg І Хіті). (19)

п

Используя равенство Ug\Km) = D^m (g)\Kn), получаем

(hm21 Tfn I Xim,) = ? D^n1 (g) Dtmn (g) D%mi (g) (hn21 Т\ | hm).

п. III, п,

(20) 300

Г лава 5

Интегрируя по групповому пространству G и используя соотношения (7.4.10) и (7.4.11), находим

0-'Jtbl I Tm I lKxtrii) -=

= (KKihm2 \KmKimi) d} l2 ? .. Q nKm | KK1K2H2) (K2H21 Tf; | hm). (21)

п, nlt п2

Это дает утверждение теоремы.

Замечание. Если G — не просто приводима, то в силу того факта, что в тензорном произведении UKi ® U''-? неприводимое представление Uk может появиться более чем один раз, т. е.

Vh ® Ub = Цфсх?Л сх >1. к

могут возникнуть осложнения. В этом случае фактор-представление ChUh следует разбить на неприводимые компоненты, используя формализм из раздела 7.4.А, и продолжать так же как выше. Однако в противоположность общему мнению даже в случае группы U (п), п >3, при выводе теоремы Вигнера—Эккарта встречаются значительные трудности (см. [419]).

Во многих приложениях мы интересуемся отношением матричных элементов (17) тензорного оператора {Гт}. В этом случае для фиксированных инвариантных чисел К, K1 и K2 (17) дает

(У"2ІГт1 Vh) ^ (U1M, I KmKm1) (hm2 I тт-1 ViI) {КККт'2 і hn/.,ml) '

т. е. задача сводится к вычислению отношений коэффициентов Клебша—Горда на.

Заметим также, что для фиксированных инвариантных чисел К, K1, K2 (17) позволяет вычислить произвольный матричный элемент оператора Tm, если известен любой частный матричный элемент.

Если тензорный оператор j TaJ зависит от координат х, то определяются более общие объекты. Такие объекты часто встречаются в квантовой теории поля и называются тензорно-поле-выми операторами. Трансформационные свойства тензорно-поле-вых операторов определяются формулой

Ul1Til (X) Ug = Dv (S) Tv(g~lx). (23)

В частности, если G — группа Пуанкаре, \х) = M — пространство Минковского, a T (х) — оператор скалярного поля, то формула (23) дает
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed