Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 98

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 153 >> Следующая


Получающиеся схемы, которые различаются по форме или по расположению индексов, соответствуют различным неприводимым представлениям, содержащимся в тензорном произведении.

Пример 1. Пусть G = SU (3). Рассмотрим тензорное произведение представлений т = (3, 0) и т' = (2, 1). Правило прибавления клеток второй схемы, соответствующей т', к первой схеме, соответствующей т, дает следующий набор схем:

©

*

а Ь
а

а а
Ь

а
а Ь

Схемы с символом «*» нашими правилами запрещены. Таким образом, получаем

S5

Zl

©

©

10

©

©

Над схемами мы проставили размерности получающихся неприводимых представлений, найденные из формулы Вейля (29), приведенной ниже (подробное доказательство этих правил разложения тензорного произведения tri ® т' см. в [427] или [131]). Ясно, что теорема 1, ввиду теоремы 3.1, верна для GL (я, R), U (п), SL (п, С), SL (и, R) и SU (п).

Общая формула для разложения тензорного произведения неприводимых представлений произвольной полупростой группы Ли G была получена Костантом и Стейнбергом. 286

Г лава 5

теорема 6. Пусть т и т' —два неприводимых представления полупростой группы Ли. Тогда кратность пт» неприводимого представления т" в тензорном произведении т 0 т' дается формулой

пш-= S dct (ST)¦ P \S(tn -j- г) \-Т(т' \-r) - (m" + 2r)\, (21)

s, t?\v

где W —группа Вейля группы G, г = а функция разбие-

ния P (R) та же, что и определенная в теореме 4.

(Доказательство см. в [7791.)

Использование формулы (21) является затруднительным даже для алгебр Ли низких размерностей. К счастью, Паясом были разработаны специальные компьютерные программы и опубликованы таблицы кратностей для наиболее важных групп [6571.

Некоторые разновидности формулы (21) для кратностей были выведены Страуманном [7901 и Климыком [4661. Существует также интересный графический метод, разработанный Спенсером [7731. Относительно более поздних работ отсылаем к [350].

Задача разложения тензорного произведения т @ т' на неприводимые представления является завершенной, если мы можем указать способ выделения пространства Hm", в котором реализовано неприводимое представление т". Для решения этой задачи достаточно выразить базисные векторы el, k = 1, 2, ... ..., dim Hm", пространства Hm" через базисные векторы eteJ-пространства Hm ® Hm' тензорного произведения, т. е.

el = CikiCiCj. (22)

Коэффициенты Ck' называются коэффициентами Клебша— Гордана. Ясно, что они зависят от базисов в пространствах Hm, Hf' и Hm" соответственно. К сожалению, явный вид коэффициентов Клебша—Гордана известен лишь в нескольких случаях: для SU (2) (см., например, [2411), SL (2, С) (см., например, [3131) и для SU (п), например в [799] для SU (3) и в [759] для SU (п).

. Теоремы 5 и 6 были получены при помощи алгебраических методов.. Их можно получить также и глобальными методами. Действительно, можно было бы.воспользоваться теоремой о тензорном -произведении, для глобальных индуцированных унитарных неприводимых-представлений компактных групи (см. гл. 18, § 2). Затем, пользуясь теоремой 3.1, распространить эти результаты на все некомпактные комплексные и вещественные полупростые группы, связанные с данной компактной группой.. Во всех известных случаях этот метод является весьма изящным и эффективным. Конечномерные представления групп Jlu

287

Г. Характеры и размерности представлений

Характер представления T группы G определяется формулой

% (б) = TrT16, б — фактор Гаусса для g = ? bz. (23)

Это весьма важное понятие было введено Вейлем. Характер (23) не обладает мультипликативным свойством х (6 + б') = % (б) x X X (6')> справедливым для характеров абелевых групп. Вейль получил общую формулу для характеров неприводимых представлений всех простых групп Ли.

ТЕОРЕМА 7. Пусть Tt"1 — неприводимое представление груп-

i

пы G, задаваемое старшим весом т= 2j/,m. Пусть к — г ~Ь т,

і

где г = ~y а и сумма берется по положительным корням. Положим

1 (т) = E det S exp [i (Sk) 6], (24)

где W —группа Вейля (определенная согласно (12) и (13)), а ab — = аД а262 + • • ¦ + апЬп х). Тогда

1(т)

Xm (б)

;(0)

(25)

(Доказательство см. в [839].)

Формула (25) дает более простые выражения в случае классических групп. В частности, для GL (п, С) имеем (см. [842], гл. VII, § 6)

vm (Я\__d (/і, I2, . . ., ln)

к к > d(n — 1, п — 2.....0) '

где I1 = m-t + п — i, a d (I1, I2, ..., I11) — детерминант

(26)

б{. fi{« .. б'«
ej. .
... б 1пп

(27)

Ясно, что формула (26) дает характер также для всех вещественных форм группы GL (п, С) и, в частности, для U (п). В этих случаях T6 = exp (іЬ/Н/), где Hj — генераторы подалгебры Картана.

Sm -

2т- г

¦ г является отражением весового вектора т относи-

тельно гиперплоскости, нормальной к г. 288

Г лава 5

Явный вид характеров для снмплектическнх и ортогональных групп был дан также Вейлем [8421, гл. VI, § 8 и 9 соответственно.

Формулу (25) для характеров можно использовать для вычисления размерности Nm неприводимого представления T1"1 группы G.
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed