Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Получающиеся схемы, которые различаются по форме или по расположению индексов, соответствуют различным неприводимым представлениям, содержащимся в тензорном произведении.
Пример 1. Пусть G = SU (3). Рассмотрим тензорное произведение представлений т = (3, 0) и т' = (2, 1). Правило прибавления клеток второй схемы, соответствующей т', к первой схеме, соответствующей т, дает следующий набор схем:
©
*
а Ь
а
а а
Ь
а
а Ь
Схемы с символом «*» нашими правилами запрещены. Таким образом, получаем
S5
Zl
©
©
10
©
©
Над схемами мы проставили размерности получающихся неприводимых представлений, найденные из формулы Вейля (29), приведенной ниже (подробное доказательство этих правил разложения тензорного произведения tri ® т' см. в [427] или [131]). Ясно, что теорема 1, ввиду теоремы 3.1, верна для GL (я, R), U (п), SL (п, С), SL (и, R) и SU (п).
Общая формула для разложения тензорного произведения неприводимых представлений произвольной полупростой группы Ли G была получена Костантом и Стейнбергом.286
Г лава 5
теорема 6. Пусть т и т' —два неприводимых представления полупростой группы Ли. Тогда кратность пт» неприводимого представления т" в тензорном произведении т 0 т' дается формулой
пш-= S dct (ST)¦ P \S(tn -j- г) \-Т(т' \-r) - (m" + 2r)\, (21)
s, t?\v
где W —группа Вейля группы G, г = а функция разбие-
ния P (R) та же, что и определенная в теореме 4.
(Доказательство см. в [7791.)
Использование формулы (21) является затруднительным даже для алгебр Ли низких размерностей. К счастью, Паясом были разработаны специальные компьютерные программы и опубликованы таблицы кратностей для наиболее важных групп [6571.
Некоторые разновидности формулы (21) для кратностей были выведены Страуманном [7901 и Климыком [4661. Существует также интересный графический метод, разработанный Спенсером [7731. Относительно более поздних работ отсылаем к [350].
Задача разложения тензорного произведения т @ т' на неприводимые представления является завершенной, если мы можем указать способ выделения пространства Hm", в котором реализовано неприводимое представление т". Для решения этой задачи достаточно выразить базисные векторы el, k = 1, 2, ... ..., dim Hm", пространства Hm" через базисные векторы eteJ-пространства Hm ® Hm' тензорного произведения, т. е.
el = CikiCiCj. (22)
Коэффициенты Ck' называются коэффициентами Клебша— Гордана. Ясно, что они зависят от базисов в пространствах Hm, Hf' и Hm" соответственно. К сожалению, явный вид коэффициентов Клебша—Гордана известен лишь в нескольких случаях: для SU (2) (см., например, [2411), SL (2, С) (см., например, [3131) и для SU (п), например в [799] для SU (3) и в [759] для SU (п).
. Теоремы 5 и 6 были получены при помощи алгебраических методов.. Их можно получить также и глобальными методами. Действительно, можно было бы.воспользоваться теоремой о тензорном -произведении, для глобальных индуцированных унитарных неприводимых-представлений компактных групи (см. гл. 18, § 2). Затем, пользуясь теоремой 3.1, распространить эти результаты на все некомпактные комплексные и вещественные полупростые группы, связанные с данной компактной группой.. Во всех известных случаях этот метод является весьма изящным и эффективным.Конечномерные представления групп Jlu
287
Г. Характеры и размерности представлений
Характер представления T группы G определяется формулой
% (б) = TrT16, б — фактор Гаусса для g = ? bz. (23)
Это весьма важное понятие было введено Вейлем. Характер (23) не обладает мультипликативным свойством х (6 + б') = % (б) x X X (6')> справедливым для характеров абелевых групп. Вейль получил общую формулу для характеров неприводимых представлений всех простых групп Ли.
ТЕОРЕМА 7. Пусть Tt"1 — неприводимое представление груп-
i
пы G, задаваемое старшим весом т= 2j/,m. Пусть к — г ~Ь т,
і
где г = ~y а и сумма берется по положительным корням. Положим
1 (т) = E det S exp [i (Sk) 6], (24)
где W —группа Вейля (определенная согласно (12) и (13)), а ab — = аД а262 + • • ¦ + апЬп х). Тогда
1(т)
Xm (б)
;(0)
(25)
(Доказательство см. в [839].)
Формула (25) дает более простые выражения в случае классических групп. В частности, для GL (п, С) имеем (см. [842], гл. VII, § 6)
vm (Я\__d (/і, I2, . . ., ln)
к к > d(n — 1, п — 2.....0) '
где I1 = m-t + п — i, a d (I1, I2, ..., I11) — детерминант
(26)
б{. fi{« .. б'«
ej. .
... б 1пп
(27)
Ясно, что формула (26) дает характер также для всех вещественных форм группы GL (п, С) и, в частности, для U (п). В этих случаях T6 = exp (іЬ/Н/), где Hj — генераторы подалгебры Картана.
Sm -
2т- г
¦ г является отражением весового вектора т относи-
тельно гиперплоскости, нормальной к г.288
Г лава 5
Явный вид характеров для снмплектическнх и ортогональных групп был дан также Вейлем [8421, гл. VI, § 8 и 9 соответственно.
Формулу (25) для характеров можно использовать для вычисления размерности Nm неприводимого представления T1"1 группы G.