Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, знание матричных элементов Dspq неприводимых представлений позволяет полностью определить коэффициенты К—Г для просто приводимых групп.
Если заданная группа G не просто приводима, то сначала мы разбиваем фактор-представление nsTs, содержащееся в тензорном произведении пространств, на неприводимые представления, используя технику раздела А. Построив базисные векторы (7) в пространствах Щи2), • ••> Н%пу поступаем так же, как
Формулы (10) и (12) составляют основу для явного определения коэффициентов К—Г компактных групп, представляющих физический интерес (таких как SO (3), SO (4), SU (3) и т. д.). Поскольку матричные элементы Dspq (х) могут быть выражены в терминах произведений специальных функций (см. гл. 14), задача определения коэффициентов К—Г сводится к задаче интегрирования произведения трех специальных функций по конечной области.
В. Физическое приложение: распределение состояний по изотопическому спину
В дополнение к массе, общему угловому моменту (спину) и четности сильно взаимодействующим частицам могут быть приписаны определенные внутренние квантовые числа. Внутренние квантовые числа различают частицы с одними и теми же спином и четностью; они сохраняются при сильных взаимодействиях. В частности, каждой такой частице мы приписываем изотопический спин t, соответствующий группе SU (2) (внутренних) симметрии. Пусть I1, I2Kl3 — генераторы этой группы SU (2). Состояние частицы тогда характеризуется вектором 11, 0, х), где I2 — — Л + Il + Із и I3 имеют собственные значения t (t 1) и 6
ds \dsp,p, (ж)фіР- (ж)Dfe(X) dx
Vi
1/2
(12)
и выше. 226
Г лава 5
соответственно и к обозначает остальное множество квантовых чисел. Когда мы имеем дело с таким квантовым числом, как изотопический спин, для набора свободных частиц мы берем пространство тензорных произведений I J1B11 J2O2, ...), и общий изотопический спин системы определяется векторной суммой / = Jj J,-.
і
В процессе сильных соударений общий изотопический спин начальных частиц равен общему изотопическому спину конечных частиц. Другими словами, S-матрица, выражающая амплитуду вероятности перехода из начального состояния в конечное, коммутирует с представлением g -*¦ Tg группы SU (2) изотопического спина в гильбертовом пространстве векторов состояний. Более подробно о квантовомеханических свойствах инвариантности см. в гл. 13. Рассмотрим процесс рассеяния двух частиц в реакции
A + B-.C^Cb + .-.+Cn
где частица Ci, і = 1, 2, ..., п, имеет изоспин Ji и третью компоненту изоспина 0г. Вероятность того, что определенное конечное состояние со значениями O1, O2, ..., 0„ будет найдено с заданными общим изоспином I и его третьей компонентой I3, равна
Рк.....=
= ГEI<'Л, ..JA I ВД|2]ГЕ E I (JA, ..., JAІІЩI2T1-
L a J L(Bi) а J
(13)
Здесь а обозначает все дополнительные изотопические квантовые числа, требуемые для полного описания n-частичного состояния в изоспиновом пространстве. Мы предположили, что каждое состояние а с фиксированными I, Is встречается с равной вероятностью. Используя технику проективных операторов, мы легко можем найти конечное выражение для вероятности (13). Фактически величина
E і (ja, ..JA і ад і2 (И)
а
и является квадратом проекции вектора | J1O1, ..., J„0„) на подпространство в тензорном произведении, натянутое на базисные векторы I I, I3, а) с заданными I, I3. Следовательно, если бы мы смогли явно вычислить длину этой проекции, то смогли бы обойтись без длинных вычислений компонент и определения полного множества квантовых чисел а. В общем случае в тензорном про-
п
изведении одночастичных представлений PI <g> T» может ока-
1—1
заться больше, чем одно (21 -f- 1)-мерное подпространство представления T1. Обозначим прямую сумму этих подпространств Представления коммутативных групп
227
через Г(/). Тогда проекция на Г(/) задается формулой (3.18), где теперь
РТ(,) = "йг" J ^МфГоГЇ) Tg (Ф, ?, sin H с1Ф de dij), (15)
T6 = П Tf \ Tf - ехр [—іф (Ш ехр I—Ї©(tk)y] ехр [— іф (Ik)z],
k—i
или в матричном виде
[^(Ф. BlttIole1. +)¦
Квадрат проекции вектора | J1G1, ..., іпвп) на Г(/) равен
Iz3rt0K1Olf ..., tnon) |2 = (Z11O1, ..., t?n I рг(/) I ^1O1, ..., /А).
Здесь мы использовали формулу (3.10). Следовательно,
Pb1.....о,= -?1 J у! (ф, 0, ?) п d4;;1 (ф, о, ?) sinе dф do d^. <іб>
k=i
Используя представление матричного элемента Dmm (g) в виде (см. упражнение 5.8.1.1)
Djmm (ф, 0, ?) = (cos 0) ехр [-ІМ (ф + ф)],
где Pj-M (х) — полином Якоби, и используя выражение (3.16) для %<7>, после интегрирования по ф и -ф получаем
To71! . .. о„ = (2/ + 1)2~2/з~' f d.r(! + a)2'-" PJl?:- (а) П /? (а). (17)
-і t=i
При получении последней формулы было предположено, что I3 > 0. Однако это не является ограничением, поскольку можно легко доказать, что
.....0« = Р\.....-V
Подынтегральная функция в (17) является полиномом степени
п
N = I -{- 1 tt — 2/3. Если представим этот полином в виде
(=1
n
Ti OjXlt
і=о
то
Рк.....^ = (2/-D2-27sIl-STTr- (18) 228
