Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
х(*) = 2Жх(ї)М. (9)
где yv(s>, S= 1, 2, ... —так называемые примитивные, или простые характеры неприводимых представлений, удовлетворяющие Представления коммутативных групп
233
условию (8). Поэтому общий или составной характер (9) удовлетворяет условию
e xwx= 00)
s
Соотношение (10) является критерием приводимости. Критерий неприводимости такой:
(Х.Х) = ^ (11)
Рассмотрим теперь правое регулярное представление группы G, определенное в теореме 1. Характер этого представления равен
( A, X ¦¦= в,
*Гей(Но, х + е. (12)
Таким образом,
S Xreg (х) Xreg (х) = /і2. (13)
х-Є G
Следовательно, регулярное представление приводимо (т. е. представляется в виде (9)) и коэффициенты Ks удовлетворяют условию
? (Cg)2==/г. (14)
s
С другой стороны, из соотношения
Xrce(X)=I^Y1 (X)
S
при X = е легко получаем
/I=I^egZs- (15)
S
Из (14) и (15) имеем Is = 7Jsee и A = ? /2. Таким образом:
S
7° Размерность неприводимого представления равна его кратности в регулярном представлении (теорема 2.2). Каждое неприводимое представление содержится в регулярном представлении (теорема 1.6) и
A = S I2s- (16)
S=I
В. Представления группы S
N
Начнем с регулярного представления группы SN, которое особенно полезно во многих физических ситуациях. Рассмотрим функции от N объектов / (1 2 ... N), например волновую функцию 234
Г лава 5
системы N частиц; каждый аргумент 1, 2, ..., і, ... стоит вместо множества квантовых чисел і-й частицы. Пусть Л' (12 ... Л') — перестановка N объектов, х ? SN. Множество AM функций
f\x(\2---N)}=fx(\2.--N), x?SN, (17)
образует базис регулярного представления размерности h ----- Л'! В этом базисе элемент х группы представляется формулой
Л'!
Л'/,,. = ZD(X)liIx., (18)
где
D(X)ji = Sjk, если XXi=Xh. (19)
Регулярное представление приводимо, так как, например, вполне симметрические и вполне антисимметрические функции, обозначаемые через f (\ 2 ... N) к f [\ 2 ... соответственно, образуют одномерные инвариантные подпространства при преобразованиях (1). В самом деле, из общих теорем предыдущего раздела мы знаем, что регулярное представление должно содержать каждое неприводимое представление размерности Is Is раз. Поскольку число неприводимых представлений (равное числу классов сопряженных элементов) дается числом разбиений числа N, то неприводимое представление, соответствующее разбиению
определяет множество функций определенного типа симметрии
/{[1 2 . . . Wi-M. ¦ • ., К + КЪ . . .}. (20)
которые вполне симметричны по первым /.і переменным, по следующим Я2 переменным и т. д. Число линейно независимых функций определенного типа симметрии равно размерности соответствующего неприводимого представления. Функции заданного типа симметрии преобразуются между собой.
Это рассуждение характеризует интуитивным образом все неприводимые представления группы Sn, но его необходимо сделать более явным и точным.
Прежде всего отметим, что разбиение числа N может быть показано с помощью «таблицЮнга». Например, разбиению ?i, ... ..., /.v) соответствует таблица Представления коммутативных групп
235
%.
—
Л2 A3
я,
К
ч—
Jik-I
Существует N клеток и Л'! способов распределения N чисел 1, 2, ..., Nb эти клетки. Таблица Юнга с записанными в нее числами называется «диаграммой Юнга» (диаграммой Фробениуса—Юнга). Таким образом, любой таблице соответствует N\ диаграмм. В терминах наших функций (4) Nl функций, соответствующих А'! диаграммам, не являются линейно независимыми. Число линейно независимых функций задается числом стандартных диаграмм.
Стандартная диаграмма — это такая диаграмма, в которой числа 1,2.....Nb таблице Юнга на приведенном рисунке распределены возрастающим образом в каждой строке слева направо н в каждом столбце сверху вниз.
Теперь вычисление числа стандартных диаграмм /(?.>, соответствующих разбиению P-), становится комбинаторной задачей. Мы даем три таких формулы:
1. Um = -ІР— П ("/ - "*), (21)
П и? ! і <*
Z=I
где (см. рисунок)
Hi = ^l +(ft - 1), п2 = >2 + (ft -2),
пк = кк.
Можно проверить, что
Ц1(Х) = АП. tt>
2. Формула Фейта [254]
/,*> - NI det [1/(Ь, - і + /)!], (,/=1,2,.. ., N. (22) 236
Г лава 5
Детерминант в (22) представляет собой детерминант NxN-матрицы А с матричными элементами Qij = 1 /[Tii — і + /')!. Заметим, что
-А- = 0, если а- < 0, и 1/0! = 1.
3. Формула Фрейма, Робинсона и Срелла [281]
Iw=NlIU Hih (23)
І і. і
hij=i i. я,-(/ + /¦).
Здесь Xj — число клеток в столбце /'.
Мы увидим, что каждой таблице соответствует неприводимое представление группы Sn размерности Iw.
Чтобы исследовать неприводимые представления группы Sn, рассмотрим групповую алгебру s4- как регулярное представление и разложим M- на неприводимые части с помощью проекционных операторов (идемпотентов).
Рассмотрим диаграмму Т. Пусть
H (T) — множество горизонтальных перестановок, т. е. множество перестановок р ? Sv, которые переставляют числа в каждой строке в Т, но не переставляют чисел из разных строк.
