Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
V (T) — множество вертикальных перестановок, т. е. перестановок q ? Sn, которые переставляют числа в каждом столбце в Т, но не переставляют чисел из разных столбцов.
H (T) и V (T) — подгруппы в Sn. Ясно, что их единственным общим элементом является единица: H (T) П V (T) = /.
утверждение. Величины, определенные для каждой диаграммы формулой
е (T) = e Eqpq t si,
p^h (t) q?V(T)
1 для четных перестановок,
—1 для нечетных перестановок,
являются в существенном идемпотентсми [т. е. скалярными кратными идемпотентного элемента в si: е (T)2 = (NlJlw) е (T) ] и задают разложение алгебры si на неприводимые подпространства.
Доказательство. Ясно, что е (T) ф 0 в si. Кроме того, для pi ? H (T) имеем соотношения
PiC (T) = e t-qPiPq = e = е (T),
и подобным образом для q\ ? V (T) е (T) q\ = гЧіе (T). Образуем идеал sie (T). Мы покажем, что все эти левые идеалы минимальны Представления коммутативных групп
237
что идеалы, соответствующие разным диаграммам, но одной и той же схеме, эквивалентны (изоморфны) и что идеалы, соответствующие различным схемам, неэквивалентны.
Рассмотрим две диаграммы T и T', соответствующие заданной схеме. Запишем T' = gT, где g ? од? — перестановка, которая переводит цифры из T в цифры из 7", т. е. если число а находится в положении (і, /) в Т, то ga находится в положении (і, /) в T' = = gT. Для этих двух диаграмм е (T), е (T'), H (T), H (T') связаны соотношениями
е (Tr) = ge (T) g-i = e(gT).
H (T') — gH (T) g'1 = H (gT),
V(T') = gV(T)g-i=V(gT).
Если р ? H (T), то р переставляет строки в Г, a gpg1 переставляет строки в T', и т. д. Рассмотрим теперь соответствующие идеалы s4-e (T) и s4-e (7"):
зФе (T') --- .9lge (T) g'1 = ?Фг (T) gl.
Два идеала связаны друг с другом правым умножением. Поэтому они эквивалентны.
Рассмотрим теперь две разные схемы, соответствующие разбиениям (n\ti2 ... nf/) и (п[п2 ... п'п) соответственно. Если на первом месте, где размещение различается, Hi > п\, то мы пишем (П\П2 ... tik) > (п'\П2 ... п'п). Для двух таких диаграмм, соответствующих двум таким схемам, имеем
Є (T1)^(T2) = O.
Чтобы показать это, заметим, что должны существовать два символа а и ?, которые расположены в одной строке в T и в одном столбце в T' (иначе подходящими перестановками можно было бы показать, что п\ = п{, m = п2, ...). Пусть h — перестановка, переставляющая ос и ?. Тогда h ? H (Ti) и h ? V (Т2). Поэтому
е (T2) е (Ti) = е (Tr2) hhe (Ti) = -е (Tr2) є (T1).
Здесь мы использовали свойство е (T) q = Eyq. Поэтому
е (T1) е' (T2) = O.
Дальше покажем идемпотентный характер величины е (T). Для любого числа ос имеем рае (T) q = t:qae (T). Обратно, пусть a ? ?ф, такое, что для всех р ? H (T) и q ? V (T) paq = е^а. Тогда существует число а, такое, что а = ае (T). Чтобы убедиться в этом, положим a = Jj а (х) х, х ^ Sn. Тогда
а = 44p-laq~l = е, Ц а (х) (p^xq'1) = е„ ? а (pyq) у.
x у 238
Г лава 5
Таким образом,
а(у) = гча(рхд) при р ? H (T), q ^V (T).
Положив у = 1, получим а (1) = г-(/а (pq). Чтобы завершить доказательство, мы должны показать, что а (х) --- 0, если х не представляется в виде pq, р II (T), ц ( V (T). Это в самом деле выполняется: если х не представляется в виде pq, то должны существовать символы, расположенные в одной строке в T и в одном столбце в T' = хТ. Пусть /г — перестановка а и ?. Тогда h ? H (T) и h ^ V (хТ), и поэтому h = xqx'1 при некотором
Я Є V (T) И
а (х) --— RirIa (Iiyq1) е,гіа (х) = —а (х).
Следовательно, а (х) =- 0, если х не представляется в виде pq. Теперь рассмотрим
ре (Tfq = ре (T) е (T)q = Vqe (Tf.
По предыдущему результату е (T)- = а с (T). Чтобы вычислить а, рассмотрим отображение T (а) = ае (T), а ? s4-, и матричную форму для T в базисе, состоящем из групповых элементов Xl == 1, Х2, хз, ..., xN. Тогда если
е (T) = Ct1X1 + ос2х2 + . . .,
ххе(T) = Ct1X1 + аг (X1X2) -f . . ., Х2е(Т) = Cl1 (X2X1) -| ¦ CC2X2 + . . .,
так что Tr (T) = аіЛП. Кроме того, так как Xi = 1 оказывается в е (T) с коэффициентом 1, то Ki = 1. Рассмотрим теперь второй базис (yi, ..., Ijl, ..., yN), такой, что (yi, ..., yj) — базис для идеала J = sie (Т). При Qi ? J ше (T) = аш, поэтому
УіЄ (T) = Ciy1, у{е (T) = CUfh
а в Уше (T) первые I элементов отличны от нуля, а остальные элементы равны нулю, так как
У ше (T) Є ^e (T). Теперь след (T) равен а/. Так как след инвариантен, то al = Ni, a = NHL
Таким образом, величина ti --- (UNl) е (T) является истинным идїм-потентом. Представления коммутативных групп
239
Наконец, покажем, что идеал Me (T) минимален. Для этого достаточно показать, что е (T) Me (T) скалярное число, кратное е(Т). Но
ре (T) Ste(T) q ^e(T)Me(T) гр, р ^H(T), qfV(T),
и по предыдущей лемме е (T) Me (T) кратно единице.
Если две диаграммы Ti и Тг принадлежат различным схемам, то, как мы знаем, е (Ti) е (Тг) = 0. Поэтому е (Тг) ае (Ti) = = е (Тг) ае (ТЇ) а Ла = е (Тг) е (оTi) а = 0. Поэтому два идеала Me (Ti) и Me (Тг) неэквивалентны.
Резюмируя, можем сказать, что мы показали, что каждая диаграмма Т, соответствующая схеме (шпг ... пк), определяет в существенном идемпотентный элемент е (T) = E VqPQi такой, что
