Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
где Usui Q /-/ч(/). Поскольку Iiln J іі\)'-\, если (s, j) -j- (s', /'), то разложение (9) однозначно. Поэтому
Н^ІІ&Щ,Г (10)
Более того,
tis
Tiu(X) = I t "<'>7'Х-> (.V), (11)
^G'=1
Hs R
где WT — неприводимые унитарные подпредставления представления Tr в Hln, заданные формулой
"^TiYsin k (X) = Dslk (X0) Ysin , (*)• (12)
Hs R s
Итак, для каждого / = 1,2, ..., ds WT --- T и, следовательно, по определению 5.3.3
(13)
s €с
Такой же результат может быть доказан для левого регулярного представления, если в качестве базисных векторов неприводимых подпространств взять функции (8).
Теорема Петера—Вейля может быть значительно усилена. Для непрерывных функций на G вместо аппроксимации по норме про- 216
Г лава 5
странства L2 мы можем получить равномерную аппроксимацию. Это составляет содержание следующей аппроксимационной теоремы Вейля.
Теорема 3. Пусть f — непрерывная функция на G. Для каждого є > 0 существует линейная комбинация
ESWW
S=I /, k
матричных элементов неприводимых унитарных представлений, такая, что
fW-E E c)kD)k{x)
S=I j, ft=l
< E для всех x?G.
(14)
Доказательство. Мы докажем теорему 3, используя метод так называемых операторов сглаживания. Этот метод очень полезен при решении многих задач в теории представлений. Пусть ф ? ? С (G), / ^ L2 (G), и пусть Lfp — оператор
Ы (X) = I ф (У) Tj-J (X) dу = J ф (//) / (//"1A-) dу. (15)
Операция (15) также обозначается через <р * f и называется сверткой функций ф и f. Оператор Lif имеет следующие свойства: Г он является непрерывным отображением из L2 (G) в С (G), 2° если Hn — множество конечных линейных комбинаций
E E c)kD)k(x),
S^=I j , k
где D)k (х) — матричные элементы неприводимого унитарного представления группы G, то
L4. (HN) a HN.
(16)
В самом деле, используя неравенство Коши, имеем
IVwi2
Пусть
j Ф (У) f (ГW ay 2 < J I ф (у) I2 йу J I f (у-Н) I2 dу.
С GG
|С(С) - sup I / Wl- Тогда
А'€°
Il ZV'lk (U) < c\\f\\u, где C = IIcpIIi.= .
(17) Представления коммутативных групп
217
Более того, если fN (х) Є HN, мы имеем
N
Цh W = SS cM' j Ф (У) dU (У~1Х) dу
S=I J, k
N
= SS SjkD^k (X) \4(y)D%(u])dy:-
S=I jі. к, р G
N
= SS W € HN, где Csph = S cPi ^l1) (/)•
s=l к, P і
Чтобы доказать основную теорему, пусть f — любой элемент из С (G). Поскольку любая непрерывная функция на G, согласно утверждению 2.2.4, равномерно непрерывна, то существует окрестность Ve единицы, такая, что
j j{xi) — Ихг)1 О, как только Xixi1^Ve. (V8)
Пусть фє G С (G) — неотрицательная функция, которая отличается от нуля только на Ve и удовлетворяет условию J фе (х) dx =
G
— 1. Тогда для сглаженного оператора Lw получаем В самом деле, согласно (18),
Il W ~ Ї IIc(G) = suP \ У* (У) if (f-1*) - Ї Wl d^ =
x(zG G
= sup J фе (X) I f (X-1SZ) - f (У) I dx < 8.
хЄ0 Ve
Из теоремы 1 мы знаем, что каждый элемент f (j С (G) может быть как угодно аппроксимирован по норме в L2 (G) элементами из Hn, т. е., в частности,
I/-Mt. <11 «Te ЦІЇ е.
Итак, согласно формулам (19) и (17), мы имеем
I F(x)- L9Jn (X) I < I f (X) - L9J (X) I + J Lfljg (f (X) - fN (х)) \ < <8 + 1 f-fN Hkeb<2e.
Поскольку функция L9Jn (х), fN ? HN, является элементом из Hn, то доказательство теоремы 3 завершено. 218
Г лава 5
Заметим, что из формул (4) и (6) мы получаем соотношение
» dS _
I Jj dsDsjk(x')Dsjk(x) = b(x~x'). (20)
s=i j. k=l
Это альтернативная форма соотношения полноты для Dsjk' функций, которая очень полезна в вычислениях.
§ 3. Проективные операторы и неприводимые представления
В этом параграфе рассматриваются свойства проективных операторов, сопоставляемых с неприводимыми представлениями компактных групп. Техника проективных операторов очень полезна, изящна и эффективна при решении различных практических задач теории представлений и квантовой физики.
Пусть Dspq (х) — матричные элементы неприводимого представления Ts. Определим операторы
PU = ds\ Dspq(X)Tx dx, (1)
G
где ds — размерность неприводимого представления Ts, dx — инвариантная мера Хаара на G, х Tx — унитарное представление группы G в пространстве Я.
Поскольку Dspq (х) и Tx — непрерывные функции на G и поскольку G компактна, то операторный интеграл (1) вполне определен (см. приложение Б.2). В частности, все операторы Pspq ограничены. В самом деле,
Il PspqU I < ds J I Dspq(X)! Il Тхи Il dx < ds sup I Dspq (X) I Il и ||.
G
Поэтому
IKlcds sup I D^(X)I-
x€ G
утверждение l. Операторы Pspq имеют следующие свойства:
1° (PspqY = Psqp, (2)
2° PPqPP'q' = § &qp'Ppq'- (3)
Доказательство. Г. Поскольку для каждого ограниченного оператора л мы имеем || л* || = || л то отображение л -»- л* непрерывно в слабой операторной топологии. Поэтому в (1) Представления коммутативных групп
219
мы можем переставить операции сопряжения и интегрирования, т. е.
(PspqY = ds f Dspq (X) Tl dx = ds f Dspq (х-1) Tx d (х-1) =
G G
= ds \ Dsqp(X)Tx dx = Psqp,
