Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
s
фактор-представления nsTs, и пусть A = ^ ® ns#s — соответ-
s
ствующее разложение пространства Н. Более того, пусть Hsq = = PsqH, где s и <7 произвольны, но фиксированы. Тогда мы имеем Утверждение 1. Если и -i- 0 — произвольный вектор из Hq, где suq фиксированы, то существует только единственное подпространство #(,,), содержащее этот вектор и являющееся пространством неприводимого представления Ts =
Если и + 0 и в f 0 — ортогональные векторы из Hsq, то Н\и) и H\v) являются ортогональными пространствами неприводимого представления Ts — {Dlj].
Доказательство. Пусть О + и ? Hsq, и пусть ||«|| = 1. Векторы
|s; р) = PspqIi, р = 1, 2, . . ., ds s и q фиксированы, (5) составляют ортонормированное множество векторов. Согласно (2), замкнутая линейная оболочка Н\и) всех векторов (5) составляет пространство неприводимого представления Ts = [Dsii]. Вектор Is, q) = PsqqU = и не может лежать в двух различных неприводимых подпространствах Н\и) и H\U), так как пересечение L =
= Щи) П Н\и) является инвариантным подпространством, удовлетворяющим следующим условиям:
LczHlui, LczHlh L + Н\и), L+ HlyПредставления коммутативных групп
223
Следовательно, в силу неприводимости Hs(u) и Н\и) это инвариантное подпространство пустое, т. е. L = 0.
Если UfO и V Ф 0 — ортогональные векторы из Hsq, то пространства Н\и) и H\v) являются ортогональными пространствами одного и того же неприводимого представления Ts = = [Dsij]. В самом деле,
(Psp'qv, P^gU) = (V, (Pl.q)'PWl) = {v, Psqp-Psp^u) = = 8p.p~(v, Psqcp) = и) = 0.
Таким образом, беря последовательные ортогональные векторы из пространства Hsq, мы получаем столько ортогональных пространств одного и того же неприводимого представления Ts — = \DSij\, какова размерность подпространства Hsq. Ясно, что dim Hsq = ns. Следовательно, утверждение 1 дает в общем случае систематический метод выделения неприводимых подпространств H(Ui)* t = 1, 2, ..., п5, из приводимого пространства Н. Оно производится следующими этапами:
1° Нахождение подпространства Hsq = PsqH (s фиксировано, q произвольно, но фиксировано).
2° Выбор в пространстве Hsq произвольным образом ортогонального базиса ui, Ui, ..., u„s, ns = dim Hq.
3° Последовательное применение формулы (5) к каждому из векторов и,, і = 1, 2, ..., ns, чтобы найти неприводимые подпространства H(Ui), содержащие эти векторы.
Согласно утверждению 1, соответствующие неприводимые подпространства HS(Uiy //(O2). ••¦» Hsiun ^ попарно ортогональны. Их набор дает эффективное разложение приводимого подпространства PsH = nsHs на неприводимые компоненты Щи.у і — 1, 2, ..., ns, в которых реализуется одно и то же неприводимое унитарное представление Ts = [Dsj]. Последовательно применяя этот метод ко всем s, получаем эффективное разложение представления T на неприводимые компоненты Ts.
Б. Коэффициенты связывания («коэффициенты Клебша—Гордана»)
Пусть Tsi и T'" — неприводимые представления группы G в гильбертовых пространствах Hs1 и Hs2 соответственно. Пусть I SiPl) — ортонормированный базисный вектор в Hs<, і = 1,2. Предположим сначала, что G просто приводима, т. е. что в тензорном произведении двух неприводимых представлений кратность224
Г лава 5
данного представления не превышает единицы. В тензорном произведении H = Hs 1 (gi Hs' мы можем построить два множества ортогональных базисных векторов. Первое состоит из кронеке-ровского произведения первоначальных базисных векторов:
ISiPit s2p2) = I Sipi) IS2P2), PI = 1, 2, . . ., dSl, /72 = 1, 2, . . ., ds„
(6)
а второе содержит базисные векторы
I SpS1S2), (7)
на которые натягивается неприводимое пространство Hs, содержащееся в пространстве Hs 1 <g HSl = ф Hs. Согласно (3),
S
базисные векторы (7) могут быть получены из базисных векторов (6) с помощью формулы
I S1S2SP) = (Npp^Y1 ds j D^M Tx I sip[s2p'2) dx, (8)
^ 1 ' C
где p', p'l, p'2 фиксированы, a Np'pfy — нормировочная константа. Оператор Tx действует на базисные векторы (6) по формуле
Tx IS1P1S2P2) = Dsp^ (ж) Dsp\p2 (X) I Sip'iSzpo). (9)
Так называемые коэффициенты Клебша—Гордана являются матричными элементами унитарного оператора (называемого матрицей перехода), связывающего базисные векторы (6) и (7), и согласно (8) и (9) задаются формулой
(sipis2p21 SpS1S2) = (КщУ1 ^ j V^Ax) w dXk (*) tk- (1 °)
к ' о
Чтобы найти нормировочную константу Nsp^p-, вычислим квадрат базисного вектора (8):
1 = (KS'P fa)'* (SlPlS2P2 I Ppp-PSpp' I SiPiS2P2) = = (^?)'2 (SiP'iS2p2 I Psp.ґ I Slp'iS2p2) =
= J dxDsp.p. (x\Dsp\p. (X)Ds^(X) =
с
= (^-?)"1 (SlP'^p'A SlS2Sp').
Поэтому
К'р[р'2 = {SiPlS2P2 I SiS2Sp') = (SiS2Sp' I Sip'iS2p2). (11)
Следовательно, мы видим, что нормировочная константа сама является другим коэффициентом Клебша—Гордана (К—-Г). По-Представления коммутативных групп
225
скольку индексы р', р[ н р'> произвольны, мы можем выбрать коэффициент К—г (11) как можно проще.
Коэффициент К—Г (10) не определяется однозначно. В самом деле, если мы умножим базисные векторы (6) на постоянные фазовые множители ф5, I ф8 I = 1, то снова получим полную ортонор-мированную систему. Поэтому коэффициенты К—Г определяются с точностью до фазового множителя. Мы можем использовать эту произвольность, чтобы выбрать один из коэффициентов К—Г неотрицательным. Тогда нормировочная константа в (10) определяется однозначно. В самом деле, положив в (10) р = р', pi = р[ и Р2 — Pi, в СИЛУ (11) получаем