Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 76

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 153 >> Следующая


s

фактор-представления nsTs, и пусть A = ^ ® ns#s — соответ-

s

ствующее разложение пространства Н. Более того, пусть Hsq = = PsqH, где s и <7 произвольны, но фиксированы. Тогда мы имеем Утверждение 1. Если и -i- 0 — произвольный вектор из Hq, где suq фиксированы, то существует только единственное подпространство #(,,), содержащее этот вектор и являющееся пространством неприводимого представления Ts =

Если и + 0 и в f 0 — ортогональные векторы из Hsq, то Н\и) и H\v) являются ортогональными пространствами неприводимого представления Ts — {Dlj].

Доказательство. Пусть О + и ? Hsq, и пусть ||«|| = 1. Векторы

|s; р) = PspqIi, р = 1, 2, . . ., ds s и q фиксированы, (5) составляют ортонормированное множество векторов. Согласно (2), замкнутая линейная оболочка Н\и) всех векторов (5) составляет пространство неприводимого представления Ts = [Dsii]. Вектор Is, q) = PsqqU = и не может лежать в двух различных неприводимых подпространствах Н\и) и H\U), так как пересечение L =

= Щи) П Н\и) является инвариантным подпространством, удовлетворяющим следующим условиям:

LczHlui, LczHlh L + Н\и), L+ Hly Представления коммутативных групп

223

Следовательно, в силу неприводимости Hs(u) и Н\и) это инвариантное подпространство пустое, т. е. L = 0.

Если UfO и V Ф 0 — ортогональные векторы из Hsq, то пространства Н\и) и H\v) являются ортогональными пространствами одного и того же неприводимого представления Ts = = [Dsij]. В самом деле,

(Psp'qv, P^gU) = (V, (Pl.q)'PWl) = {v, Psqp-Psp^u) = = 8p.p~(v, Psqcp) = и) = 0.

Таким образом, беря последовательные ортогональные векторы из пространства Hsq, мы получаем столько ортогональных пространств одного и того же неприводимого представления Ts — = \DSij\, какова размерность подпространства Hsq. Ясно, что dim Hsq = ns. Следовательно, утверждение 1 дает в общем случае систематический метод выделения неприводимых подпространств H(Ui)* t = 1, 2, ..., п5, из приводимого пространства Н. Оно производится следующими этапами:

1° Нахождение подпространства Hsq = PsqH (s фиксировано, q произвольно, но фиксировано).

2° Выбор в пространстве Hsq произвольным образом ортогонального базиса ui, Ui, ..., u„s, ns = dim Hq.

3° Последовательное применение формулы (5) к каждому из векторов и,, і = 1, 2, ..., ns, чтобы найти неприводимые подпространства H(Ui), содержащие эти векторы.

Согласно утверждению 1, соответствующие неприводимые подпространства HS(Uiy //(O2). ••¦» Hsiun ^ попарно ортогональны. Их набор дает эффективное разложение приводимого подпространства PsH = nsHs на неприводимые компоненты Щи.у і — 1, 2, ..., ns, в которых реализуется одно и то же неприводимое унитарное представление Ts = [Dsj]. Последовательно применяя этот метод ко всем s, получаем эффективное разложение представления T на неприводимые компоненты Ts.

Б. Коэффициенты связывания («коэффициенты Клебша—Гордана»)

Пусть Tsi и T'" — неприводимые представления группы G в гильбертовых пространствах Hs1 и Hs2 соответственно. Пусть I SiPl) — ортонормированный базисный вектор в Hs<, і = 1,2. Предположим сначала, что G просто приводима, т. е. что в тензорном произведении двух неприводимых представлений кратность 224

Г лава 5

данного представления не превышает единицы. В тензорном произведении H = Hs 1 (gi Hs' мы можем построить два множества ортогональных базисных векторов. Первое состоит из кронеке-ровского произведения первоначальных базисных векторов:

ISiPit s2p2) = I Sipi) IS2P2), PI = 1, 2, . . ., dSl, /72 = 1, 2, . . ., ds„

(6)

а второе содержит базисные векторы

I SpS1S2), (7)

на которые натягивается неприводимое пространство Hs, содержащееся в пространстве Hs 1 <g HSl = ф Hs. Согласно (3),

S

базисные векторы (7) могут быть получены из базисных векторов (6) с помощью формулы

I S1S2SP) = (Npp^Y1 ds j D^M Tx I sip[s2p'2) dx, (8)

^ 1 ' C

где p', p'l, p'2 фиксированы, a Np'pfy — нормировочная константа. Оператор Tx действует на базисные векторы (6) по формуле

Tx IS1P1S2P2) = Dsp^ (ж) Dsp\p2 (X) I Sip'iSzpo). (9)

Так называемые коэффициенты Клебша—Гордана являются матричными элементами унитарного оператора (называемого матрицей перехода), связывающего базисные векторы (6) и (7), и согласно (8) и (9) задаются формулой

(sipis2p21 SpS1S2) = (КщУ1 ^ j V^Ax) w dXk (*) tk- (1 °)

к ' о

Чтобы найти нормировочную константу Nsp^p-, вычислим квадрат базисного вектора (8):

1 = (KS'P fa)'* (SlPlS2P2 I Ppp-PSpp' I SiPiS2P2) = = (^?)'2 (SiP'iS2p2 I Psp.ґ I Slp'iS2p2) =

= J dxDsp.p. (x\Dsp\p. (X)Ds^(X) =

с

= (^-?)"1 (SlP'^p'A SlS2Sp').

Поэтому

К'р[р'2 = {SiPlS2P2 I SiS2Sp') = (SiS2Sp' I Sip'iS2p2). (11)

Следовательно, мы видим, что нормировочная константа сама является другим коэффициентом Клебша—Гордана (К—-Г). По- Представления коммутативных групп

225

скольку индексы р', р[ н р'> произвольны, мы можем выбрать коэффициент К—г (11) как можно проще.

Коэффициент К—Г (10) не определяется однозначно. В самом деле, если мы умножим базисные векторы (6) на постоянные фазовые множители ф5, I ф8 I = 1, то снова получим полную ортонор-мированную систему. Поэтому коэффициенты К—Г определяются с точностью до фазового множителя. Мы можем использовать эту произвольность, чтобы выбрать один из коэффициентов К—Г неотрицательным. Тогда нормировочная константа в (10) определяется однозначно. В самом деле, положив в (10) р = р', pi = р[ и Р2 — Pi, в СИЛУ (11) получаем
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed