Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
где мы использовали то, что Tx = Tx ----- Tx-,, и инвариантность меры Хаара.
2°. Из (1) следует, что
PUPU- = dsds' J Dspq(X)D^ (Xr) TxTx- dx dx'.
Используя групповое СВОЙСТВО TxTx' = Txx' и соотношение
Dsp4 (х) = Dspq (Ix'1) = Dspr (X) Dsrq (х'~1) = Dspr (х) Dsqr (х'),
где хх' = х, а также соотношения ортонормировки (1.9), мы получаем
Ps Ps' = dd Л Dsr (Xr) Ds' (X') dx' ( Ds (X) T- Sc = 6SS'6 ,Ps .
pq р q S s' J qr * ' p'q' \ > J pr y ' X qp' pq'
Следствие. Операторы Psp = Pspp являются проективными операторами, т. е.
(PspY = Psp, PspPs; = bss'Spp-Psp- (4)
Операторы Pspq имеют простые трансформационные свойства относительно действия группы G. Действительно, мы имеем
утверждение 2. Пусть Psp1 заданы формулой (1). Тогда (суммирование по s отсутствует)
TxPspq = Dsrp(X)Psrq, (5)
PspqTx = Dsqr(X)Pspr. (6)
Доказательство. Поскольку Tx непрерывен, то он может быть перенесен под знак интеграла в (1). Используя групповые свойства функций Dspq, получаем
TxPspq = d J Txx. dx' = ds J D^(X-1T)T-Ax =
= AsDsrp(X) J ЇГ0)Т; dx = Dsrp(X) Psrg. Формула (6) доказывается подобным же образом. Заметим, что в силу (5) векторы
I s; р) = PspqU, q фиксировано, и ? И,
преобразуются как базисные векторы пространства Hs неприводимого представления Ts. Этот факт является отправной точкой 220
Г лава 5
большинства поименений проективных операторов Psplj (см. § 4.А и § 4.Б).
Заметим также, что, согласно (5) и (6), мы имеем
TxPsp4Tl1 - Dsrp(к)DU~x) Psrl. (7)
Формула (7) означает, что Psp4 преобразуется как тензорный оператор, соответствующий тензорному произведению базисного вектора Bsii и вектора, сопряженного с е* (т. е. в обозначениях Дирака как произведение |s; р) (s; q\).
Существуют также полезные проективные операторы, сопоставляемые с характерами
dS
Xs (А) - I Dspp(x). P=I
Они определяются следующим образом:
' Pl=- ds J XsWTa. tlx. (8)
g
Утверждение 3. Операторы Ps имеют следующие свойства:
(Pf f - Р\ (9)
PsP-' ^bss-P*, (Ю)
TxPs = PsTx. (11)
Доказательство. Поскольку Ps = YiPsp, то формулы (9) и (10) сразу следуют из утверждений 1 и 2, а (11) следует из (8) и из того факта, что % (х) = % (уху1).
Докажем еще один полезный результат. Утверждение 4. Пусть T — унитарное представление группы GeH. Тогда
I1Ps = I (12)
и
IPSP = I. (ІЗ)
s, р
Доказательство. Пусть \es\ — базис в Я. Тогда в силу (8) S Ps'esr = S ds' \ dx ? 0Pp(X)Dsmr (X) esm = ?. (14)
s' s' р
Отсюда следует (12). Соотношение (13) следует из определения операторов Ps и из (12). Представления коммутативных групп
221
Пример. Пусть G = SO (3). Если мы описываем вращения с помощью углов Эйлера ф, 0 и ф,
0<ф<2п, 0<0<к, о с i|)< 2л, (15)
то в силу упражнения 5.8.1.1 и (3.11.30) имеем
uj = 2J - j- 1, dx = (8л V sin О dtp de thj-,
Djm, м (Ф, О, ?) = ( 1+?°*в ) М P0J-M (cos 0) ехр 1-іM (ф + ?)], (16)
j
х(«р, 0. ?)- ? Dmm (ф, 0, ?),
Л! ./
Tx (ff, е, - ехр (—Іф/г) ехр (—ЮЛ,) ехр (—ilf/г).
Следовательно, проективные операторы Pjm и Pj задаются формулами
Pi = -?^ j Djmm (Ф, 6, і):) Tx (ч, е, ф, Sin 6 dtp dO сіф, (17) Pj = -?1 j Ij (ф, 0, ф) Tx <„. е. ?) sin є dф de йф. (18) § 4. Приложения
А. Разложение фактор-представления на неприводимые представления
Во многих задачах неприводимое представление Ts группы G входит в пространство представления H несколько раз. Во многих приложениях требуется разложить фактор-представление nsTs (суммирование отсутствует) на неприводимые компоненты и явно построить соответствующие ортогональные пространства. Мы решаем эти задачи, используя проективные операторы Pspq. Как отмечалось, векторы
|s; р) = Pspqu> ц фиксировано, .(1.)
преобразуются как базисные векторы esp пространства Hs неприводимого представления Ts, т. е.
Tx i s; р) = Dsrp (x) PsrqU = Dsrp (X) | s; г). (2)
Это соотношение дает простой и изящный метод явного построения ортогональных базисных векторов | s; р) неприводимого пространства Hs из векторов гильбертова пространства Н, в котором реализуется приводимое унитарное представление T группы G. Рассмотрим раньше случай, когда каждое неприводимое представление Ts появляется в разложении представления T только один раз. Пусть PspqU =h 0, р = 1, 2, ..., ds (ds— размерность 222
Г лава 5
неприводимого представления Ts) для некоторого UfH и для фиксированных s и <7. Тогда векторы
I s; p) = -jf Ppgu' P = 1» 2, ..., ds, s и q фиксированы, (3)
где N2 = (и, P*qqu), образуют ортонормированное множество векторов. В самом деле,
(s-, P'\s-, р> = -рг ад = -W (". (^Г=
= («. = vp рг ("> = vp- (4)
Согласно (2), замкнутая линейная оболочка Hs ортонормирован-ных векторов (3) образует пространство, в котором реализуется неприводимое унитарное представление Т" = [Dlj].
Замечательно, что этот метод работает даже в том случае, когда приводимое унитарное представление T содержит неприводимое представление Ts несколько, скажем (пс), раз. В самом деле, пусть T = © risTs — разложение представления T на
