Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Г лава 5
Из (17) или (18) получаем конечное выражение для Pe1.....е для
различных частных случаев:
1. Случай п пионов (т. е. р -f р п+л+ + n0Jt° -f- п п~)
Р'п+, „.. „_ = (2/ -I-1) 2-'"+-/+/s (-I)7"7' X
- 2 (' 7'') (/ Lf-iv ) (-ov и (2"+ + v, п0, 1 - I3 - v) +
V=O
+ (-1)"» А (/ - I3 - V, п0, 2n+ + V)],
P=O
2. Случай одного нуклона и n пионов Pinii „+. „.. = (j + 1) 2- (-l)'"« X
j-m
X S <-1Г ('" (Jl^ J) IA (2n+ + 1 + v, „0, / _ M - v) +
v --u
-f- (--1)"» A (J - Al - v, п0, 2п+ + 1 + v)],
где J = I — lIi, M = I3 — V2 и An1 — третья компонента изо-спина нуклона.
Заметим, что перестановки частиц одного и того же вида и заряда между ссбой не приводят к различным изоспиновым состояниям. Следовательно, чтобы найти вероятность определенного зарядового распределения, следует умножить коэффициент
Pei.....еп на число перестановок компонент O1, ..., 0П, которые
приводят только к изменению порядка чисел B1, ..., 0„. Например, вес зарядового распределения для п пионов без рассмотрения их импульсов задается формулой
P1 — P1
§ 5. Представления конечных групп
В этом параграфе рассматриваются свойства конечных групп и их представления. Конечные группы имеют много важных приложений в квантовой физике, в особенности в атомной, молекулярной физике и физике твердого тела. По этой причине и для того, чтобы можно было рассматривать представления симметрической группы Sn, мы даем краткое изложение представлений конечных групп. Представления коммутативных групп
229
Каждая конечная группа компактна. Поэтому все теоремы этой главы справедливы для конечных групп. Только во всех формулах необходимо заменить интегрирование по групповому
многообразию J dx суммированием по групповым элементам.
А. Симметрическая группа Sn
Симметрическая группа Sn (группа перестановок N объектов, ее порядок равен ЛП) существенна в изучении конечных групп, в приложениях, а также в теории представлений непрерывных групп. Мы имеем следующую теорему.
ТЕОРЕМА 1 (Кели). Каждая конечная группа G порядка N изоморфна подгруппе группы Sn.
Доказательство. Рассмотрим перестановку элементов из G, определенную левым умножением на элемент х:
(X1 х2... xN \
хП= І і • (1)
\ -vaj хх% * ¦ • xxj\j j
Перестановку множества (x1, ..., xn) в множество (xx1, ..., xxjv), т. е. элемент из Sn, мы обозначаем стрелкой (как выше). Все перестановки {дя, x Є Gl образуют группу. Отображение /: х ->- хп взаимно однозначно и
/ - ХУ * х^-у^ = ху^ •
Ясно, что перестановку можно также определить правым умножением.
Элементы из Sn могут быть порождены более простыми элементами, называемыми циклами или транспозициями. Цикл представляет собой перестановку, в которой некоторые Г N объектов переставляются между собой циклическим образом. Например,
/1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\ Ц2 3 4 1 6 7 5 8 9 !0)=(12 3 4)(5 6 7)(8)(9)(10), (2)
где мы ввели стандартное обозначение для циклов. Цикл может быть записан иначе: (1 2 3 4) = (2 3 4 1) = (3 4 1 2) = (4 1 2 3); произведение непересекающихся циклов коммутативно: (1 2 3 4) (5 6 7) = (5 б 7) (1 2 3 4); цикл с одним символом может опускаться в разложении (2). Цикл из двух символов называется транспозицией. Любой цикл может быть записан как произведение транспозиций: (1 2 3 4) = (1 2) (1 3) (1 4) (действие слева ,направо). Продолжая этот процесс, получаем следующую теорему, з} 452
Г лава 5
§ 7.7. Для алгебры Jln so (3, 1) ~ si (2, С) с генераторами
Jh = ~ a*oka, Nk = -^-X (а*о1гСи* аСока), к = 1, 2, 3,
"О Г
C = L-1 О J*
действующей на гильбертовом пространстве состояний, натянутом на
I im) = [(/ + т) l(j-m) !]",/2gI {i+m)a2 <'-"¦> | 0), покажите, что C2 = J2 — ./V2 = O и C2 = J N = —3/4. Если I 0) или а* I 0) — нижайшее состояние, то получаем два самосопряженных представления с /0 = /м11;1 = 0 или соответственно. Алгебра si (2, С) имеет две серии унитарных представлений, обозначаемых двумя числами:
1 3
1) основная серия: /„ = -у, 1, -у, ..., —со < а < оо;
2) дополнительная серия: /„ = 0, 0 < i? с 1, где
C2 ::--= /„«, Cv = 1 -f fi2 — /О-Используя две пары бозонных операторов ah bh і = 1, 2, и
постройте эти представления (см. также гл. 19). 230
Г лава 5
ТЕОРЕМА 2. I0 Каждая перестановка может быть представлена в виде произведения непересекающихся циклов (однозначно с точностью до порядка множителей).
2° Каждая перестановка может быть представлена в виде произведения транспозиций смежных символов; для заданного X Є Sn число транспозиций в любом разложении или всегда четно или всегда нечетно.
Два групповых элемента X1 и X2 называются сопряженными, если существует другой групповый элемент у, такой, что X1 = = ух2у"1. Это соотношение является 1) рефлексивным: X1 = = ех^"1, 2) симметрическим: X2 = у~хх1у, и 3) транзитивным: если X1 = УX2If1 И X2 = ZX3Z"1, TO X1 = (yz) X3 (yz)"1. Поэтому группа может быть разделена на классы сопряженных элементов. Единичный элемент сам составляет класс. В общем в классе имеется много элементов.
