Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Г лава 5
§ 3.1. Пусть Tki и Тк* — неприводимые представления группы SO (3). Выведите следующее соотношение для матричных элементов:
Я1+Я2
Dmm' ig) V7m*' (g) = 2 (ЛіЛ«і/.2Л«2 ( K1K2Km) І)'тт- [g) X 11 22 X=U1-XH
X (XihKm' І Х\т\к2т'2).
Указание. Найдите матричные элементы операторного равенства (5.8.3).
§ 4.1. Покажите, что ряд Клебша—Гордана (5.8.3) для SO (3) предполагает следующее соотношение для матричных элементов:
^(*)?*;^= , ,(W^aM WAi) X
j - I jI — j 2 I
l+JHj, M1+M2
(g)( J J2J M'IJ1MlJ2M',).
Указание. Используйте формулу (5.8.3) и соотношение полноты для состояний I JiJ2JM).
§ 5.1. Покажите, что Sn может быть порождена двумя элементами X = (1 2) и у =¦ (1 2 ... N).
Указание. Любая перестановка может быть записана в виде произведения циклов. Любой цикл имеет вид
ihh ¦ ¦ ¦ lr) (Iif2) (hh) ¦ • • (ip-Jr)-Любая транспозиция имеет вид
(»', /+!) = (/, / + 1) (»/)(/, H-1 Г1-
Тогда If1X Q/")"1 дает все транспозиции вида (/, / !- 1).
§ 5.2. Найдите таблицу умножения, а также 2-мерное и 3-мерное представления группы Ds Sз. Найдите нормальные подгруппы и классы сопряженных элементов.
§ 5.3. Покажите, что матрицы Паули ±1, ±оі, ±02, ±03 представляют собой реализацию кватернионной группы Q = = (2, 2, 2) (см. табл. 7.1).
§ 5.4. Рассмотрим 5з. Существует три схемы Юнга: Представления компактні>іх групп
243
Соответствующие существенные идемпотенты имеют вид
Ol= ? X,
х^а
^> = / + (1 2)-(1 3)-(3 2), efW + (l 3)-(1 2)-(1 3 2),
ея =-- ? є (х) X.
X
Рассмотрите свойства идемпотентов, минимальные левые идеалы и двусторонние идеалы, которые ими порождаются, и соответствующие неприводимые представления.
§ 5.5. Если х, у, z — три тождественных объекта, то пока-
жите, что —^т- (х ¦ j- I11 j ¦ г) її і ] преобразуются
' V 7Г,9~г) J
по 1-мерному и 2-мерному представлениям соответственно группы перестановок Sa.
§ 5.6. Покажите, что матрицы Дирака, определенные формулой
tnyv + tvtn = Sgfiv, р, v = O1 1, 2, 3, порождают (относительно матричного умножения) конечную группу порядка h = 32, что она имеет 17 классов сопряженных элементов, а следовательно, 17 неприводимых представлений, 16 из которых одномерны, а одно четырехмерно. Г лава 8
Конечномерные представления групп Ли
В этой главе излагается теория конечномерных неприводимых представлений произвольной связной группы Ли в глобальной форме. Глобальный подход вносит значительные упрощения в теорию по сравнению с инфинитезнмальным подходом Картана— Вейля; он дает классификацию конечномерных неприводимых представлений на языке старших весов и одновременно простую каноническую реализацию пространства представления посредством полиномов от нескольких комплексных переменных. В свою очередь это делает возможным решение различных практических задач, таких как сужение представления заданной группы на г.од-груипу, разложение тензорного произведения, явное вычисление «коэффициентов Клебша—Гордана» и тому подобное.
В § 1 обсуждаются общие свойства представлений разрешимых и полупростых групп Ли. В частности, дается общий вывод знаменитых теорем Ли и Вейля.
В § 2 излагается техника индуцированных конечномерных представлений групп Ли и доказывается основная теорема о том, что всякое конечномерное неприводимое представление группы Ли G, допускающей разложение Гаусса, является представлением, которое индуцировано одномерным представлением некоторой подгруппы.
В § 3—6 развивается глобальная теория представлений комплексных и вещественных групп Ли.
Наконец, в § 7 рассматривается классификация конечномерных неприводимых представлений произвольных связных групп Ли. Метод основан на использовании разложения Леви—Мальцева группы G и свойств неприводимых представлений разрешимых и полупростых групп.
В этой главе для простоты мы будем часто опускать термин «конечномерный», поскольку будем иметь дело здесь исключительно с конечномерными представлениями.
§ 1. Общие свойства представлений разрешимых и полупростых групп Ли
Теория представлений групп Ли основана на существовании для каждой комплексной или вещественной группы Ли характеристической разрешимой связной подгруппы. Явный вид этой Конечномерные представления групп Jlu
245
подгруппы определяется разложениями Леви—Мальцева, Гаусса или Ивасавы. Прежде всего доказывается фундаментальная теорема Ли о представлениях разрешимых групп. Эта теорема является ключом к классификации неприводимых конечномерных представлений произвольных групп Ли. Мы даем глобальную версию теоремы Ли, удобную в теории индуцированных представлений.
А. Теория представлений разрешимых групп
Пусть N — разрешимая топологическая группа. Пусть Q (N) — ее коммутаторная подгруппа, т. е. замыкание в топологии группы G множества, порожденного элементами вида хух ly l. I !сложим Qi (N) = Q (Qi-1 (N)). Поскольку N разрешима, имеем Qp (N) = = {е} при некотором р\ наименьшее р называется высотой группы N. Легко видеть, что если N — связная разрешимая группа, то Q (N) также связна и разрешима.
