Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Если, например, X1 = (1 5 3 6 7 4 2) (8 10) и
/1 2 3 4 5 6--Л У = I1.... , то Xi = уXiIj 1 = (г, I5 /3 /6 I7 I1 L) (is I10).
V1I 'а 'з 1I
Таким образом, все элементы в классе имеют одну и ту же циклическую структуру. Длины циклов характеризуются разбиениями числа N; поэтому число классов в Sn равно числу разбиений числа N.
Поскольку циклы коммутируют, мы можем упорядочить их от большего к меньшему. Таким образом, циклическая структура (разбиение) задается множеством чисел Kh удовлетворяющих условию
N = Ti1 + T12 H-----[-Kk, K1 > K2 > • • • > Kk > 0, (3)
где k произвольно. Иначе, разбиения могут характеризоваться множеством неотрицательных целых чисел а = (аь а2, ..., ал,), таких, что
N = O1 + 2сс2 + 3«з-1-----Ь Non, Щ З> 0. (4)
Здесь ak — число циклов длины k. Ясно, что al < N, a.v с 1 и т. д.
За исключением бесконечного ряда (см., например, [694]), общей формулы для числа разбиений не существует, но имеются таблицы (см. [356]). Однако мы ответим на такой вопрос: чему равно число элементов в каждом классе группы Sv?
Пусть U — подгруппа в G. Элементы вида \хи | и ? U\ = xU образуют класс смежных элементов. Ясно, что классы смежных элементов XO и уU или тождественны, или не имеют общих элементов. Каждый элемент х из G лежит в некотором классе смежных элементов, именно в классе xU. Все классы смежных элементов имеют один и тот же порядок, который равен порядку подгруппы U. Представления коммутативных групп
231
Таким образом, группа разделяется на v непересекающихся классов смежных элементов, где
[G : U] = -V = индекс подгруппы UbG = -52EA®. (5)
Таким образом, порядок подгруппы U (или класса смежных элементов xU) является делителем порядка группы G (теорема Ла-гранжа).
Делимость порядка группы G также справедлива для классов сопряженных элементов.
теорема 3. Порядок класса сопряженных элементов является делителем порядка группы G.
Доказательство. Мы определяем подгруппу и„ называемую централизатором элемента х из G:
Ux = {у I уху-1 = х\. (6)
Мы хотим знать число различных элементов, сопряженных к х. Два элемента ихи_1 и vxv"1 тождественны тогда и только тогда, когда Uhv лежат в одном и том же левом смежном классе по Ux. Поэтому число различных элементов, сопряженных к х, равно числу смежных классов по Ux или индексу подгруппы Ux, который, согласно предыдущей теореме, является делителем порядка группы G.
Пример 1. Для примера вычислим порядок ha класса сопряженных элементов группы Sn, определенного в (4). Согласно (5), достаточно вычислить порядок централизатора Ux, определенного в (6). Перестановка х циклической структуры а = (аъ ..., ал) является левоинвариантной в виде уху'1 = х при f~| а,-!\аі пере-
/
становках, так как цикл длины / остается неизменным при / циклических перестановках и, кроме того, а,-циклы могут переставляться между собой. Таким образом,
Ha = W !/[а,! IaIa2! 2а* • • • а^! NaN] (7)
и ? К = Ni.
а
Нормальная подгруппа N группы G полностью состоит из классов сопряженных элементов.
Пример 2. При N + 4 знакопеременная группа An (подгруппа группы Sn, состоящая из четных перестановок) является единственной собственной нормальной подгруппой в S v; ее индекс равен двум. При N =^ і An проста, т. е. не содержит собственных нормальных подгрупп. При N = і Ai содержит собственную нормальную подгруппу F4 (группа Клейна с четырьмя элемен- 232
Г лава 5
тами). (Замечание: A4 также известна как группа тетраэдра Т, т. е. как группа вращений и отражений, которая оставляет инвариантным регулярный тетраэдр).
Б. Свойства представлений конечных групп
Общие определения гл. 5 естественно применимы здесь; мы не нуждаемся только в понятии непрерывности. Критерии эквивалентности и неприводимости представлений снова содержатся в двух леммах Шура. Перечислим некоторые полезные результаты на языке конечных групп.
1° Каждое представление конечной группы G эквивалентно унитарному представлению (теорема 1.1).
2° Каждое неприводимое представление конечномерно (теорема 1.3).
3° Теорема Машке: каждое неприводимое представление конечной группы вполне приводимо, т. е. является прямой суммой неприводимых представлений (теорема 1.4).
4° Пусть Ts и Ts' — два неприводимые представления группы G. Тогда соответствующие матричные элементы в ортонормированном базисе удовлетворяют условию
S D<r (X) D^ (X) = 6ss'6,-m6/n -А., (8)
хЄа us
где ds — размерность матрицы Dl, h — порядок группы, a s обозначает различные неприводимые представления. Если Ds унитарно, то DsjI1(X)=Dsij(X) (теорема 1.5).
5° Если dlt d2, ..., dk — размерности неприводимых представлений, то h = di + dl +¦ • ¦ + d%.
6° Число различных неприводимых представлений равно числу классов сопряженных элементов.
Таким образом, симметрическая группа Sn имеет столько неприводимых представлений, сколько существует разбиений числа N.
Поскольку произвольное представление является прямой суммой неприводимых конечномерных представлений, то каждый характер задается формулой
