Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
s [со] (Z) = E (Inf)MJ?. „(*)/*!. (3)
k, а
где s [со]—геометрическое сечение, отвечающее форме (О. Ряд (3) сходится в каждом секторе а < arg / < b, если модуль параметра t достаточно мал.
Лемма 1.
1. ^IP1 а = (— In (Мц)/2ш)&л0%,
(4) 256 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iil
где Ma—унипотентная часть оператора монодромии в (п—1)-мерных когомологиях.
2. Сечение Aft а принадлежит корневому подпространству собственного числа ехр(—2л;ia) оператора монодромии в (п— 1)-мерных когомологиях.
Замечание. Оператор монодромии M в когомологиях (или в ковариантно постоянных сечениях когомологического расслоения Милнора)—это оператор монодромии в связности Гаусса—Манина, порожденный обходом вокруг точки t =0 «против часовой стрелки». Если Mhom—оператор монодромии в (п—1)-мерных гомологиях, определенный аналогичным образом, то M*== M^m, где * означает сопряжение.
Доказательство леммы вытекает из следующего замечания. Аналитическое продолжение вокруг точки t = 0 левой части формулы (2) приводит к интегралу формы ш/df по Mhom6 (t). Аналитическое продолжение правой части вокруг точки t = 0 состоит в подстановке вместо t выражения te23Xi. Сравнивая два способа продолжения, получаем лемму. Подробнее см. в [22].
Следствия леммы. 1. Геометрическое сечение s[co] определяется сечениями Aft а с k = 0.
2. Если для некоторого а Л?а = 0, то для всех k Aft а = 0.
3. Для любого а
ta (AZ a (t)+...+(In « (0/(Л — 1)!) =
= ехр (111 t (a Id—In (Ma)/2ni)) Л?, а (0-
(Напомним, что размеры жордановых клеток оператора монодромии не больше п, поэтому коэффициенты Aft а с k^n равны нулю.)
4. Сечение, заданное предыдущей формулой, является голоморфным однозначным сечением когомологического расслоения Милнора.
Лемма 2. Каждое сечение Aft а зависит только от конечной струи формы со в точке OgC и,' более того, зависит от этой струи голоморфно.
Лемма 2 — следствие леммы 12.3.
Б. Элементарные сечения. Пусть А — многозначное ковариантно постоянное сечение когомологического расслоения Милнора, принадлежащее корневому подпространству собственного числа X оператора монодромии в когомологиях. Пусть а —¦ рациональное число со свойством: ехр(—2nia)=X. Определим сечение slA, а] когомологического расслоения формулой
s [Л, а] = ехр [In t (а Id—In (Ма)/2іи)] Л.
Сечение s [Л, а] называется элементарным сечением порядка а, порожденным сечением Л.
Согласно лемме 2 геометрическое сечение является суммой
элементарных сечений: s [ю] = 2 s [Л'о, а, а]. §13] коэффициенты разложений в ряд интегралов 274
Лемма 3. 1. s[Л, а]—однозначное голоморфное сечение когомологического расслоения.
2. Если ковариантно постоянные сечения Ai, ..., A1 принадлежат корневому подпространству собственного числа К оператора M и линейно независимы над С, то значения сечений
s [Ai, а].....s[Alt а] линейно независимы в каждой точке базы
когомологического расслоения.
3. tVd/dts[A, a.] = as[A, a]-f-s[— In(Ma)-Л/2ш", а], где Va/d< — дифференцирование в связности Гаусса—Манина, т. е. дифференцирование координат сечения в ковариантно постоянном репере.
Доказательство. Пп. 1, 3 очевидны. П. 2 следует из линейной независимости ковариантно постоянных сечений и невырожденности линейного преобразования ехр [...].
В. Порядок и главная часть формы. Пусть со—голоморфная дифференциальная п-форма на X (пространстве прообраза специализации ростка f). Пороком формы (геометрического сечения, определенного формой) называется наименьшее число ос, для которого отличен от нуля коэффициент Л?а. Порядок обозначается через а (со).
Напомним, что согласно лемме 1, если Л?а=0, то Л? а = О для всех k.
Главной частью формы (геометрического сечения, определенного формой) называется однозначное голоморфное сечение Smax [со] когомологического расслоения Милнора критической точки ростка f, заданное формулой
Smax M = t« ІК а (e) + . . . + (ІП O'-^Jf-x. а <«/(*— I)!).
Замечания. 1. Пусть Tj-^голоморфная дифференциальная (п—1)-форма на X. Ее ограничения на слои расслоения Милнора определяют геометрическое сечение s [г]]. По построению s [т|] — = s [сі/Дті]. Это равенство определяет порядок и главную часть формы т] и ее геометрического сечения.
2. Если форма определяет нулевое геометрическое сечение, то полагаем ее порядок равным +°°> а ее главную часть равной нулевому сечению когомологического расслоения.
Пример. Пусть f—квазиоднородный многочлен и со—квазиоднородная форма старшей степени. Тогда интеграл ее формы Гельфанда—Лере по классам гомологий ковариантно постоянного семейства имеет вид const-P-1, где а—отношение степеней квазиоднородности формы и многочлена. Поэтому главная часть формы равна ее геометрическому сечению, т. е.
S [CD] (t) = Vax [Ю] (t) = t^Al ^1 (t).
Сформулируем полезное свойство порядков и главных частей.
Лемма 4 (см. [22]). Пусть Co1,..., <ац—голоморфные дифференциальные п-формы на X. Пусть S1, ..., Stf.—базис ковари-
9 В. И. Арнольд и др. 258 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
