Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично определяется расслоение k-мерных когомологий, ассоциированное с расслоением я. Расслоения &-мерпых гомологий и ^-мерных когомологий естественным образом сопряжены (поскольку сопряжены ^-мерные гомологии и ^-мерные когомологии).
Замечание. Функции перехода построенных тривиализацнй локально постоянны.
В расслоении (ко)гомологий определена естественная операция параллельного переноса слоев над кривыми в базе. (Если задана кривая в базе, то индуцированное ею из я расслоение над отрезком тривиально, поэтому канонически изоморфны (ко)гомологии слоев над начальной и конечной точками кривой.) Операция параллельного переноса обладает следующими свойствами:
1. Отображение слоя над начальной точкой пути в слой над конечной точкой пути — линейный изоморфизм.
2. Отображение не зависит от выбора кривой в классе гомотопных кривых с закрепленными концами.
Операция переноса (ко)гомологий называется связностью Гаусса — Манина в расслоении (ко)гомологий.
Операции переноса в расслоении гомологий и расслоении когомологий согласованы — перенос перестановочен с сопряжением. 267 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iil
Сечение расслоения (ко)гомологий над открытым подмножеством базы называется ковариантно постоянным, если его значения иива-риантны относительно параллельных переносов вдоль любых кривых, лежащих в этом открытом множестве.
Если база В локально односвязна (например, многообразие), то любой вектор произвольного слоя расслоения (ко)гомологий можно, и притом единственным образом, распространить до ковариантно постоянного сечения над достаточно малой окрестностью его проекции в базу (для этого вектор надо параллельно перенести в близкие слои). Дальнейшее распространение этого ковариантно постоянного сечения приводит к многозначному ковариантно постоянному сечению над всей базой, т. е. к ковариантно постоянному сечению расслоения (ко)гомологий, поднятого на универсальную накрывающую базы.
В каждом слое расслоения (ко)гомологий имеются дополнительные структуры: вещественное подпространство и в нем целочисленная решетка. Вещественное подпространство — это естественный образ в (ко)гомологиях слоя расслоения я с комплексными коэффициентами (ко)гомологий с вещественными коэффициентами; целочисленная решетка в вещественном подпространстве — это естественный образ группы (ко)гомологий слоя с целыми коэффициентами. Слой расслоения (ко)гомологий является комплексификацией своего вещественного подпространства, решетка порождает вещественное подпространство (с помощью сложения и умножения на вещественные числа). Вещественное подпространство и целочисленная решетка инвариантны относительно параллельных переносов.
Предположим, что база расслоения я — голоморфное многообразие. Тогда расслоение (ко)гомологий, ассоциированное с я, обладает канонической структурой голоморфного векторного расслоения. Действительно, определим голоморфные сечения расслоения (ко)гомологий как сечения, имеющие голоморфные координаты в произвольном репере расслоения (ко)гомологий, составленном из ковариантно постоянных сечений. Это определение корректно, поскольку функции перехода между реперами, составленными из ковариантно постоянных сечений, локально постоянны.
Замечание. О связности Гаусса — Манина см. в [243, 244, 199].
Б. (Ко)гомологическое расслоение Милнора деформации. Пусть f: (С", 0)—»(С, 0) — росток голоморфной функции, имеющий критическую точку конечной кратности и. Пусть F: (CraXCft, 0x0)—> (С, 0)—деформация ростка. Пусть G: X—»-5—специализация дефор.мации и G: X'—>-S' — соответствующее расслоение Милнора (см. стр. 210). Расслоение (п—1)-мерных (ко)гомологий, ассоциированное с расслоением Милнора, называется (когомологическим расслоением Милнора деформации (точнее, специализации деформации). (Ко)гомологическое расслоение Милнора обладает канонической структурой голоморфного § 12] интегралы и" дифференциальные уравнения
251
векторного расслоения. В (ко)гомологическом расслоении Милнора задана связность Гаусса—Манина.
Замечание. Слой расслоения Милнора имеет гомотопический тип букета (я—1)-мерных сфер. Поэтому ассоциированное расслоение й-мерных (ко)гомологий содержательно только прий = /г—1.
Определим класс геометрических сечений когомологического расслоения Милнора. Пусть со—голоморфная дифференциальная п-форма на X. Для любой точки b?S' ограничение формы Гельфанда—Jlepe на слой Xb расслоения Милнора определяет класс когомологий [u>/dxF \хь~\ Є Я"-1 (Хь, С). Сечение by->[a>/dxF \хь] когомологического расслоения Милнора называется геометрическим сечением формы (о и обозначается через s[co].
Пусть б—многозначное ковариантно постоянное сечение гомологического расслоения Милнора. Рассмотрим на S' многозначную функцию <s[co], б>. Согласно нашим определениям <s[co], б> =
= ^ соIdxF. Такие функции рассматривались в § 1.0. o
Функция <s[co], б> голоморфна согласно теореме 10.5. Поэтому геометрическое сечение голоморфной дифференциальной /г-формы является голоморфным сечением когомологического расслоения Милнора.
