Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Докажем, что, обратно, всякая голоморфная обратимая при /=0 замена неизвестных функций в уравнении Пикара — Фукса базисной тривиализации может быть индуцирована переходом к новой базисной тривиализации.
Лемма 6. Пусть формы Co1, ..., со^ составляют базисную тривиализацию (см. стр. 230). Пусть Q—обратимая uх и-матрица голоморфных функций, заданных на окрестности точки OgC. Тогда существуют формы Co1, ..., Cotl, которые составляют базисную тривиализацию и для которых переход (13) от уравнения Пикара—Фукса тривиализации . .., Com, к уравнению Пикара — Фукса тривиализации Co1, . . ., со^ задается матрицей Q.
Доказательство. В качестве искомых форм можно взять формы о)у = 2 Q (f)r<»r> / = 1> • • •. M-I гДе Q(f)—матричная функция
г
в окрестности начала координат в С", индуцированная из матричной функции Q отображением /: (С", 0)—>- (С, 0).
Д. Определение особенности Пикара—Фукса: конечнократной критической точки. Пусть А—jxXp.-матрица голоморфных функций, заданных в проколотой окрестности точки OgC. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
^= ? Л//*, / = 1.....і*. (И)
Предположим, что в u-мерном пространстве решений этой системы выделена р,-мерная целочисленная решетка, базис которой является базисом на С всего пространства решений (т. е. если V — пространство решений, VzczV—решетка, то V = Vz(X)zC). Рассмотрим оператор M монодромии решений (т. е. линейный оператор в пространстве решений, порожденный аналитическим продолжением решений вдоль пути, обходящего точку / = O один раз «против часовой стрелки»). Предположим, что оператор монодромии и обратный к нему сохраняют решетку (т. е. M(Vz) = = M"1 -Vz)-. В этом случае систему (14) назовем оснащенной, решетку в пространстве решений назовем оснащением системы. 246 ИНТЕГРАЛЫ голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iIl
Примеры оснащенных систем доставляют уравнения Пикара — Фукса тривиализаций (см. (11)), оснащения этих систем задают решения вида (12).
Замечание. Система дифференциальных уравнений может быть оснащена тогда и только тогда, когда в пространстве ее решений существует базис, в котором оператор монодромии и обратный к нему целочисленны.
Рассмотрим две оснащенные системы из р уравнений. Их матрицы, пространства решений, оснащения обозначим, соответственно, через A, V,Vg, А', V', Vz. Эти системы назовем эквивалентными,
если в окрестности точки 0 ? С существует обратимая р х р-матрица Q голоморфных функций, для которой замена неизвестных функций I/(t) = ^iQl(t) I'r(t), . .., р, переводит первую систему
г
во вторую, при этом сохраняя оснащения, т. е. A' = — Q~t~-sr + Q'1 AQ, F2 == QVz . Класс эквивалентности системы назовем
особенностью оснащенной системы дифференциальных уравнений.
Согласно леммам 5, 6 уравнения Пикара — Фукса базисных тривиализаций составляют в точности один класс эквивалентности. Зигот класс эквивалентности назовем особенностью Пикара — Фукса критической точки О голоморфной функции /.
Проблема. Описать особенность Пикара — Фукса критической точки.
Например, указать нормальную форму особенности. Указать, какие особенности оснащенных систем могут быть особенностями Пикара — Фукса критических точек.
Разумные вопросы об особенностях Пикара — Фукса критических точек, вероятно, имеют разумные ответы. Например, особенность Пикара — Фукса имеет диагонального представителя (т. е. представителя вида dlJ'/dt=a}(t)IJ, /=1, ..., р) тогда и только тогда, когда критическая точка голоморфно эквивалентна критической точке квазиоднородной функции. (Доказательство: особенность Пикара—Фукса критической точки квазиоднородной функции имеет диагонального представителя согласно [219], или [185, пример (6.7)], обратное утверждение несложно выводится из [208] (ср. с [21]).)
Гипотеза. Особенности Пикара — Фукса конечнократных критических точек разные у голоморфно неэквивалентных критических точек, по крайней мере у близких.
Эта гипотеза является аналогом теоремы Торелли] 'в алгебраической геометрии (см. [157], [121]).
В качестве обстоятельства, стимулирующего изучение проблемы и подкрепляющего гипотезу, отметим, что особенность Пикара — Фукса критической точки определяет структуру Ходжа критической точки, см. далее п. 13.2. § 12]
интегралы и" дифференциальные уравнения
247
Е. Уравнение Пикара — Фукса тривиализации имеет регулярную особую точку. Напомним классическую теорему из теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.
Теорема 6 (см. [65]). Пусть А—р,хр.-матрица голоморфных функций в проколотой окрестности точки OgC. Рассмотрим систему из и линейных однородных дифференциальных уравнений
Тогда следующие свойства системы уравнений эквивалентны.
1. Пусть I = (/1, . .., /и)—произвольное решение системы уравнений. Тогда в произвольном секторе а < arg t < b при t—^O каждая координата решения растет не быстрее, чем степенным образом: Iі (t) = о (i~N) для некоторого N.
2. Существует обратимая u. X ]х-матрица Q голоморфных функций в проколотой окрестности точки ?=0-, мероморфных в точке t=0, для которой подстановка I=QI' преобразует исходную систему уравнений в систему уравнений с простым полюсом в точке t=0, т. е. матричная функция Q~1AQ—Q~xdQ/dt имеет в точке і=0 полюс порядка не выше первого.
