Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 118

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 160 >> Следующая


Совокупность геометрических сечений—модуль над кольцом голоморфных функций на базе S специализации деформации: если s [со]—геометрическое сечение, g—голоморфная функция на S1 то сечение gs [со] является геометрическим сечением формы s[(go G)-со].

Согласно теоремам 1, 2 существует набор из р. геометрических сечений, значения которых порождают базисы во всех слоях когомологического расслоения Милнора, лежащих над точками базы, достаточно близкими к началу координат 0 ? S.

Замечание. Модуль ростков геометрических сечений в начале координат базы S версальной деформации критической точки ростка f является свободным модулем ранга и над кольцом ростков голоморфных функций в начале координат базы S. Это нетрудно показать, пользуясь следствиями теоремы 2 и утверждением п. 12.1. Д (см. далее случай тривиальной деформации ростка). Базис модуля задают геометрические сечения форм, для которых ограничение функции det2 на ось значений, проходящую через начало координат, имеет в начале координат нуль минимальной кратности; см. следствия теоремы 2.

В. Связность Гаусса—Манина и уравнение Пикара—Фукса тривиализации. Ограничимся далее случаем тривиальной деформации ростка f. Рассмотрим специализацию f: X —^S ростка и соответствующее расслоение Милнора f: X' —>S'. Пусть S1, ..., S11—базис над S' голоморфных сечений (когомологического расслоения Милнора. 252 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl

Лемма 7. На S' существует и единственна \іу.\і-матрица В голоморфных функций, для которой система дифференциальных уравнений

/ = I.....И. (17)

обладает свойством: сечение 2 ^s/ ковариантно постоянно в связности Гаусса—Манина тогда и только тогда, когда (Iі, ..., 7м)—решение системы.

Система дифференциальных уравнений (17) называется уравнением ковариантно постоянных сечений в репере S1, ..., S11.

Доказательство. Множество многозначных ковариантно постоянных сечений (ко)гомологического расслоения Милнора образует р-мерное комплексное векторное пространство. Разлагая ковариантно постоянные сечения по базису S1, . . ., S11, получим р-мерное комплексное векторное пространство голоморфных вектор-функций (Iі, ..., Iv-), инвариантное относительно аналитического продолжения вектор-функций вокруг точки 0. Существование и единственность системы дифференциальных уравнений, решениями которой служат вектор-функции такого пространства, доказываются аналогично теоремам 3, 5.

Пусть (O1, ..., CO11—голоморфные дифференциальные п-формы на X, геометрические сечения которых sj = S [(Oy], / = 1, . . . , р,, образуют базис сечений когомологического расслоения Милнора. Набор таких форм в п. 12.1 назван тривиализацией (их геометрические сечения задают тривиализацию когомологического расслоения Милнора).

С таким набором форм связаны две системы дифференциальных уравнений. С одной стороны, это — уравнение (17) ковариантно постоянных сечений в репере s1, . . ., S11, с другой стороны, это — уравнение (11) Пикара—Фукса тривиализации.

Лемма 8. Матрица В уравнения ковариантно постоянных сечений и матрица А уравнения Пикара — Фукса тривиализации связаны соотношением Л+Л*=0.

Следствие. Пусть s1, ..., s?—репер гомологического расслоения Мишора, сопряженный к реперу s1, ..., Sm,. Тогда отображение (Iі, ..., H1) і—2 IjSj задает изоморфизм пространства решений уравнения (11) Пикара—Фукса и пространства ковариантно постоянных сечений гомологического расслоения Милнора. При этом изоморфизме решетка в пространстве решений уравнения Пикара—Фукса, выделенная в п. 12.2.В, переходит в решетку ковариантно постоянных сечений гомологического расслоения Милнора, образованную сечениями, значения которых принадлежат естественному образу гомологий с целыми коэффициентами.

Доказательство леммы легко следует из определений.

Лемма 8 и ее следствие дают геометрическую интерпретацию уравнению Пикара—Фукса тривиализации. §13] коэффициенты разложений в ряд интегралов 270

Рассмотрим базисную тривиализацию Co1, . .., Cofl (см. стр. 230). Согласно свойству 2 тривиализаций (стр. 231) для любого геометрического сечения s [со] существуют голоморфные функции P1, ..., P11, заданные в окрестности точки OgS, для которых

s[®] = SPyS[®y]- Следовательно, геометрические сечения базисной /

тривиализации порождают базис модуля ростков геометрических сечений в точке OgS над кольцом ростков голоморфных функций в точке OgS. Это свойство выделяет базисные тривиализации среди всех тривиализаций (леммы 5, 6).

Таким образом, особенность Пикара — Фукса критической точки (см. п. 12.2;Д) — это класс уравнений ковариантно постоянных сечений гомологического расслоения Милнора в реперах, двойственных к реперам геометрических сечений, порождающих базис модуля ростков геометрических сечений в точке OgS.

§ 13. Коэффициенты разложений в ряд интегралов, весовая

и ходжева фильтрации, спектр критической точки

Рассмотрим интеграл голоморфной дифференциальной формы по классам гомологий непрерывного семейства целочисленных гомологий слоев расслоения Милнора критической точки. Функция, заданная интегралом, разлагается в ряд по степеням параметра и степеням логарифма параметра семейства (§ 10). Каждый коэффициент ряда линейно зависит как от формы, так и от непрерывного семейства целочисленных гомологий. Если форму фиксировать, а непрерывные семейства менять, то каждый коэффициент ряда есть линейная функция на непрерывных семействах. Линейные над С комбинации непрерывных семейств целочисленных классов гомологий образуют пространство ковариантно постоянных (в связности Гаусса — Манина) сечений гомологического расслоения Милнора. Таким образом (если форма фиксирована), каждый коэффициент ряда есть линейная функция на пространстве ковариантно постоянных сечений гомологического расслоения Милнора, т. е.— ковариантно постоянное сечение когомологического расслоения Милнора.
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed