Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
(t?S')—это линейные подпространства, порожденные значениями главных частей__геометрических сечений порядка не большего, чем я—k—\. Если таких сечений нет, то полагаем ^ = (0}. Другими словами, Fk—это подпространства, натянутые на векторы вида smax [«>](/)' гДе w—голоморфная дифференциальная я-форма на X порядка не большего, чем я—k—1. Перечислим очевидные следствия определения.
Лемма 7. 1. Для любых t^S' подпространство
FktCiHn'1 (Xt, С) является прямой суммой своих пересечений с корневыми подпространствами оператора монодромии, т. е. ход-жева фильтрация инвариантна относительно полупростой части оператора монодромии.
2. Для любого k?Z Fk (/*): Fk-^S'—аналитическое под расслоение когомологического расслоения Милнора.
3. Подрасслоения ходжевой фильтрации образуют убывающую фильтрацию, т. е. для любого k Fk+1aFk.
4. Если k^n, то Fk (/*)—подрасслоения ранга 0.
5. Существует k, для которого Fk совпадает с Н"~г.
Доказательство. П.1—следствие п. 2 леммы 1.
Докажем п. 2. Если форму умножить на /, то геометрическое
сечение формы умножается на t. Поэтому подпространства Fk порождаются главными частями геометрических сечений, веса которых заключены в пределах я—k—2<а(©)^я—k—1. Теперь л.2—следствие п. 2 леммы 3.
П. 3 очевиден. П. 4—следствие теоремы 10.8.
Для доказательства п. 5 нужно предъявить набор форм, у которых главные части образуют базис сечений когомологического расслоения Милнора. Согласно теореме о детерминанте на X существуют голоморфные я-формы CO1, ..., Юц, у которых геометрические сечения образуют базис сечений когомологического расслоения. Если главные части этих форм образуют базис сече-чий, то п. 5 доказан, если—не образуют, то формы нужно подправить. Для этого нужно взять подходящую невырожденную |i X fi-матрицу Q голоморфных функций на S, отображением f индуцировать матрицу Q(/) голоморфных функций на X и рассмотреть новые формы (й'і = JSQ(/Я©/, /==1, ••., р.. Существование
/
матрицы, для которой главные части новых форм образуют базис сечений, легко следует из выбора форм Co1, ..., CDli; см. [22].
Замечание. Из формулируемой ниже теоремы о смешанной структуре Ходжа (см. также [22]) следует, что F0 совпадает с Нп~г.
Пример 1. Пусть f = Jcli"*"1. Когомологическое расслоение Милнора—это расслоение ранга р. приведенных нульмерных когомологий слоев расслоения Милнора (каждый из которых состоит яз (ц-(-І)-й точки). Согласно лемме 11.3 {0} = F1CzF0== H0.
Пример 2. Пусть f = х\ + ... + Когомологическое расслоение Милнора одномерно. Согласно примеру в п. 10.3.Г §13] коэффициенты разложений в ряд интегралов 280
{0} = FW^+1 (rft«/»] = Нп-\ подрасслоение FW^ (/*) порождается главной частью формы йхг/\ . . . Дdxn.
Б. Весовая фильтрация линейного оператора (см. [156, 158, 213]). С линейным нильпотентным оператором (т. е. с линейным оператором, собственные числа которого равны нулю) связана возрастающая фильтрация в пространстве действия оператора. Ниже приведены три ее эквивалентных определения. Первое из них — наиболее неинвариантное и наиболее понятное. Последнее определение — наиболее распространенное и, вероятно, наименее понятное.
Пусть H — конечномерное векторное пространство, N: H —H— н'ильпотентный линейный оператор, k — целое число. Определяемая ниже последовательность подпространств
{0}с... с: WlCiWt^1CL.. cz# (5)
называется весовой фильтрацией оператора N с центральным индексом k.
Определение 1. Рассмотрим произвольный жорданов базис оператора N. Каждое подпространство весовой фильтрации порождается определяемым ниже множеством векторов жорданова базиса. Элементы базиса разделим на . группы, относя в одну группу векторы одной жордановой клетки. Изобразим одну группу: -
клетки — это векторы группы, стрелки —¦ действие оператора, последний вектор переходит в нуль. Теперь изобразим все группы друг над другом, располагая их симметрично относительно вертикальной оси и оставляя для стрелок пропуски в одну клетку (см. рис.79). Каждому вектору базиса припишем целое число — расстояние со знаком до оси симметрии (на рис. 79 числа записаны в клетках). Пусть Wk+lc:H — это подпространство, порожденное векторами базиса с номерами, не большими чем I (см. рис. 79).
Определение 2. Пусть h?H. Положим
l+(h) = mm{l[h?kerN<}, /_ (h) = max {I | h ? Im /V'}. Определим подпространство Wk+l условием
• » . • • * • • 9
?-ЕЛ ?
[VVA„ [Wk jw«., Рис. 79.
h Є Wk+l <=> l+ (h)—l_ (h) < t +1. 264 интегралы голоморфных форм. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
Определение-лемма 3 (см. [213]). Существует и единственна фильтрация (5), обладающая следующими свойствами:
а) N(W1)CZW1.,, 6Z.
Положим
grtW = W JW
Согласно a) N индуцирует отображение gr? W—gr?_2 W.
б) N1: grk+iW—*grft_ tW—изоморфизм, ZgZ-Лемма 8 (см. [213]). Определения 1—3 эквивалентны.
В. Весовая фильтрация когомологического расслоения Милнора. Определим последовательность аналитических подрасслоений
W1(T): W1-^S', I ? Z
когомологического расслоения Милнора критической точки ростка f. Эту последовательность назовем весовой фильтрацией когомологического расслоения Милнора критической точки ростка f.
