Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
антно постоянных сечений гомологического расслоения Милнора критической точки ростка f. Обозначим через ord порядок нуля при t = 0 функции
Тогда ord/2 ос (CO1) + ... + а(юц); равенство имеет место тогда и только тогда, когда главные части форм Co1, ..., Oill—линейно независимые сечения когомологического расслоения Милнора.
Доказательство очевидно.
Г. Порядок формы и показатель главного чле,на асимптотики осциллирующего интеграла. Рассмотрим комплексный осциллирующий интеграл с фазой f по допустимой цепи, сосредоточенной в окрестности критической точки ростка f,
т. е. интеграл J exfa>, где [Г]?#„(Х, X"), cd—голоморфная
[Г]
дифференциальная п-форма на X (см. п. 11.1). Согласно теореме 11.1 при т—+оо интеграл разлагается в ряд 2 aK ат" (In Т)А-Обозначим через ? (cd, [Г]) наибольшее а, присутствующее в этом ряде, т. е. ? (со, [Г])—показатель главного члена асимптотического ряда.
Лемма 5. Для любой цепи [Г] ? Hrl (X, Х~) имеет место неравенство ? (со, [Г]) ^—а(<в)—1, где а(ю)—порядок формы со. Более того, существует [Г], для которой ?(a>, [Г]) = — а (cd)—1.
Доказательство. См. формулы (4)—(6) на стр. 221.
Д. Комплексный показатель осцилляции. Обозначим через Otmln наименьшее число среди порядков голоморфных д-форм на X. Число —(1 + адаіп) назьюается комплексным показателем осцилляции критической точки ростка f.
Согласно лемме 5 комплексный показатель осцилляции—это наибольшее возможное значение показателя главного члена асимптотики комплексного осциллирующего интеграла с фазой f по допустимой цепи, сосредоточенной в окрестности критической точки ростка f.
Пример. Для критических точек функций xf+...
... + х% комплексный показатель осцилляции равен соответственна—1/({а+1), —п! 2.
Лемма 6. Предположим, что росток f, ограниченный на вещественное подпространство Rn cz С", принимает только вещественные значения. Тогда показатель осцилляции ростка і определенный б § 6 ,не больше комплексного показателя осцилляции ростка f.
Доказательство. Комплексный показатель осцилляции равен наибольшему возможному значению порядка комплексного осциллирующего интеграла с фазой f при всевозможных [Г], со. Вещественный показатель осцилляции равен наибольшему возможному значению порядка комплексного осциллирующего интегра-gl 3] КОЭФФИЦИЕНТЫ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД ИНТЕГРАЛОВ 259
ла с фазой f по вещественному контуру [Гц] при всевозможных (О (см. теорему 11.3).
Как показывает пример 1 § 9, комплексный показатель осцилляции может быть строго больше вещественного показателя осцилляции.
Определение. Комплексным показателем особости критической точки ростка f называется число я/2—(l+amin), равное увеличенному на я/2 комплексному показателю осцилляции.
Пример. Для критических точек функций л:|-|-. ..
. . . -3T х% комплексный показатель особости равен соответственно 1/2—IOi+1), 0.
Комплексные показатели особости равны у стабильно эквивалентных точек, см. п. 13.3.Д. Комплексный показатель особости неотрицателен, см. п. 13.3.В.
Е. Порядок формы и разрешение особенностей критической точки ростка f. Согласно теореме 7.3 показатель осцилляции критической точки вещественно аналитической функции равен весу разрешения особенностей. Сформулируем комплексно-аналитический аналог этого утверждения.
Пусть я: Y—»- X—разрешение особенностей критической точка О функции f: X—»S (где /: X—)-5—специализация ростка f)~ Это означает, что
1. У—неособое комплексно-аналитическое я-мерное многообразие, я—собственное голоморфное отображение, индуцирующее биголоморфизм между У \ я-1 (0) и Х\0.
2. (/оя)_1(0)—объединение гладких дивизоров на Y, пересекающихся нормально (см. пп. 1—4, определения разрешения — на стр. 144).
Разрешение особенностей существует согласно теореме Хиро-наки [106].
Разложим прообраз критической точки функции f в объединение неособых неприводимых (я —1)-мерных комплексно-аналитических множеств E1, . .., En. С каждой из этих неприводимых, компонент корректно связаны два неотрицательных целых числа: кратности нулей на этой компоненте соответственно функции fолг и якобиана отображения я. Эти числа обозначим соответственно» через k, т. Число —(т +1 )/k называется весом компоненты (ср. с п. 7.3.А). Максимум весов компонент E1, ..., En называется весом разрешения особенностей.
Пусть <в—голоморфная дифференциальная га-форма на X. С формой я*© на Y и произвольной компонентой Ei, і = 1, ..., N, корректно связаны два неотрицательных целых числа: кратности нулей на этой компоненте соответственно функции / и формы я*со. Эти числа обозначим соответственно через fe, т. Число —(m+l)/fe называется весом компоненты относительно со. Максимум весов; компонент E1, ..., En называется весом относительно со разрешения особенностей.
9*260 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
Легко видеть, что вес разрешения особенностей равен весу разрешения особенностей относительно формы dx1 Д ... Adxn.
Теорема 1 (см. [22]). 1. Комплексный показатель осцилляции критической точки ростка f не больше веса разрешения особенностей критической точки. Комплексный показатель осцилляции равен весу разрешения, если вес разрешения не меньше —1.