Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 5. В достаточно малой проколотой окрестности точки O^C существует и единственна р X р-матрица А голоморфных функций, для которой система обыкновенных дифференциальных уравнений
d^ = YiAikIk, j = 1.........(11)
al A = I п
§ 12]
интегралы и" дифференциальные уравнения
243
обладает свойством: все решения системы составляют линейные комбинации вектор-функций вида
где S — произвольное непрерывное семейство целочисленных (п—1)-мерных гомологий в слоях расслоения Милнора критической точки О функции f.
Определение. Система (11) называется уравнением Пикара —-Фукса тривиализации (O1, . . ., <%.
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 3.
Замечание. Коэффициенты матрицы А мероморфны в точке N0 в силу теоремы 10.8.
Пример уравнения Пикара—Фукса тривиализации. Пусть f = X^1+ ... +х^1. Пусть (Oy-, — набор форм, определенных перед леммой 11.6 на стр. 228. Эти формы составляют тривиализацию для критической точки функции f (следствие 2 леммы 11.6). Уравнением Пикара—Фукса этой тривиализации является система
В. Решетка в пространстве решений. В линейном пространстве решений уравнения Пикара — Фукса тривиализации выделена fx-мерная целочисленная решетка: решение принадлежит этой решетке, если оно имеет вид (12), т. е. если его координаты — это интегралы по классам непрерывного семейства целочисленных, гомологий. Эта решетка обладает двумя свойствами:
1. Базис над Z решетки является базисом над С ^.-мерного комплексного пространства всех решений системы.
2. Рассмотрим оператор монодромии решений, т. е. линейный оператор в пространстве решений, порожденный аналитическим продолжением решений вдоль пути, обходящего точку t= 0 один раз «против часовой стрелки». Тогда как сам оператор монодромии, так и обратный к нему сохраняют решетку.
Обозначим через V пространство решений, через Vz— решетку, через M—оператор монодромии. Тогда свойства 1, 2 записываются в виде:
Свойство 1 соответствует утверждению: естественный образ группы Hn_1(Xv Z) в Hn_1(Xt, С) образует р,-мерную целочисленную решетку, базис которой над Z является базисом над С в #„_i (Xu С) (здесь Xt—слой расслоения Милнора критической точки 0 функции /). Свойство 2 соответствует утверждению: one-
(12)
^r = ((/х + - - • + /*+1)-1) I4t, j Є J-
V=Vz®zc, M(Vz) = M-I(Vz)=Vz. 244 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iIl
ратор монодромии, действующий на Hn_1(Xt, С), сохраняет образ группы Нп_г (Xt, Z).
Определим вещественное подпространство в пространстве решений как вещественное векторное пространство, порожденное решеткой: Vr R. Пространство V всех решений системы
является комплексификацией вещественного подпространства: V = Vr © i'Vr, t'2= l. Это разложение определяет в V операцию комплексного сопряжения.
Замечание. Сопоставление асимптотик решений и операции комплексного сопряжения приводит к понятию смешанной структуры Ходжа критической точки голоморфной функции (см. ниже §§ 13, 14).
Структура, аналогичная решетке, имеется в пространстве решений уравнения Пикара — Фукса голоморфной дифференциальной /г-формы (см. (8)). А именно, в линейном пространстве его решений выделен модуль над Zcp. образующими: решение принадлежит модулю, если оно имеет вид (9). Ив этом случае оператор монодромии и обратный к нему сохраняют модуль.
Г. Изменение системы уравнений при изменении тривиализации. Выясним, что происходит с системой уравнений (11) при изменении тривиализации. Пусть coj, . . ., co'?—новая тривиализация. Положим
r/(t) = J <u)ldtt /, 1 = 1, ..., ц.
S1 (О
По определению тривиализации для любого t из достаточно малой проколотой окружности точки Z=O существует и единственна обратимая jj. X j-i-матрица Q(Z), для которой
Ij' (Z) = IlQUt) I''(t), / = 1, ..., ц.
г
Коэффициенты матрицы Q (как ранее коэффициенты матрицы А) — однозначные голоморфные функции, определенные в проколотой окрестности точки Z=O. Коэффициенты матрицы Q мероморфны при Z=O в силу теоремы 10.8. Новая система уравнений имеет вид
(-Q-^+Q-MQ)/'. ^
Решения старой системы связаны с решениями новой системы меро-морфным преобразованием
/ = Q/'. (13)
Это преобразование переводит решетку в пространстве решений новой системы в решетку в пространстве решений старой системы. Операторы монодромии в пространствах решений перестановочны с этим преобразованием. § 12] интегралы и" дифференциальные уравнения 245
Лемма 5. Если формы со^, . .., составляют базисную три-виализацию (см. стр. 230), то коэффициенты матрицы Q голоморфны при / = 0.
Доказательство. См. свойство II тривиализацнй на стр. 231.
Следствие. Если и формы W1, . . ., CO11, и формы щ, . . ., (й^ составляют базисные тривиализации, то коэффициенты матрицы Q голоморфны при / = 0 и матрица Q (0) обратима.
Таким образом, уравнения Пикара — Фукса двух базисных тривиализацнй переводятся друг в друга голоморфным обратимым преобразованием (13) искомых функций. Это преобразование сохраняет решетки в пространствах решений этих уравнений.
