Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Свойство I очевидно, докажем свойство II. Взяв в качеств; семейства б семейства S1, . . ., порождающие базисы гомологий слоев расслоения Милнора, получим систему линейных уравнений на р1У ..., Pvl. Ее определитель отличен от нуля по определению тривиализации. Решая систему уравнений по правилу Крамера, получим искомые функции в виде частных пар определителей. Каждое частное голоморфно при t = 0, если Co1, . . .,Coll— базисная тривиализация.
А. Элементарные свойства функции det2. Удобно рассматривать функцию det2 не на базе расслоения Милнора критической точки, а на базе расслоения Милнора версальной деформации критической точки.
Пусть F: (CxCft, 0x0)—* (С, 0)—версальная деформация ростка f. Рассмотрим специализацию G: X—*S развертки деформации и соответствующее расслоение Милнора G: X'—>-5' (обозначения и определения см. в п. 10.3.А на стр. 210; см. также 249 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iil
рис. 73 на стр. 210). Выделим в слоях расслоения Милнора базисы целочисленных (п—1)-мерных гомологий, непрерывно зависящие от точек базы. Базис в слое над s ? S' обозначим через S1 (s), .. . • ••, Six(S). Пусть (O1, ..., (Од—голоморфные дифференциальные n-формы на X. Пусть F: X—* С—голоморфная функция, представляющая росток F. Формы (O1, ..., (Otl на каждом слое расслоения Милнора определяют голоморфные дифференциальные (п—1)-формы Oi1ZdxF, ..., CaptZdxF (формы (O1, . .., (Otl нужно ограничить на подпространства вида С" Xу и разделить на dxF). Рассмотрим на базе 5' функцию
det2: s I-^-det2/' I (a(/dxF\, j, /=1, ...,p.
V 6/s> J
Лемма 1. Функция det2 однозначна и голоморфна.
Доказательство. Элементы матрицы — многозначные голоморфные функции на базе (теорема 10.5). При аналитическом продолжении вдоль замкнутого пути значение функции det2 умножается на квадрат определителя оператора монодромии в гомологиях. Оператор монодромии невырожден и целочислен вместе с обратным. Поэтому квадрат его определителя равен 1. Следовательно, функция det2 однозначна.
Замечание. Если п четно, то уже функция det однозначна и голоморфна. Достаточно проверить однозначность при аналитическом продолжении вдоль малого пути вокруг неособой точки дискриминанта в базе версальной деформации. Определитель соответствующего преобразования монодромии равен определителю преобразования Пикара—Лефшеца, который при четном п равен. 1.
Согласно определениям в п. 10.3.А база S' расслоения Милнора является дополнением к гиперповерхности в произведении шаров S = Х-?p. Разность 2 = S\S' называется дискриминантом.
Теорема 2 (см. [22]). Функция det2 мероморфна в начале, координат базы S и, более того, может быть представлена в виде ghn~2, где g, h—функции на S, голоморфные в начале координат, причем h—это функция, нули которой определяют дискриминант (без кратностей).
Доказательство. На S заданы координаты: у?В§—параметры деформации, и g В\—значение функции F. При фиксированном у прямая значений пересекает дискриминант в р, точках (с учетом кратностей). Для общего значения координаты у прямая значений пересекает дискриминант в ft различных неособых точках. Достаточно доказать, что около таких неособых точек дискриминанта функция det2//г"-2 голоморфна. Действительно, тогда по теореме о стирании особенностей функции det2/ft"~2 голоморфна на S всюду. Голоморфность в окрестности неособой точки дискриминанта следует из явных вычислений интегралов по § 12]
интегралы и" дифференциальные уравнения 250
250
циклу, исчезающему в невырожденной критической точке (см. пример в п. 10.3 на стр. 216).
Итак, пусть S0 = (и0, у0) — неособая точка дискриминанта, в окрестности которой дискриминант является графиком функции u = и (у). Функция F (-,у) имеет одну критическую точку в X f] (C" X у) с критическим значением и (у), и эта критическая точка невырождена. Рассмотрим оператор монодромии М, отвечающий обходу вокруг точки (и (у), у) по малой окружности, расположенной на прямой значений. M—оператор Пикара — Лефшеца «отражения» в классе гомологий цикла, исчезающего при s —у S0. Используя оператор монодромии, линейно над R заменим все базисы S1(s), ..:, Sjl(s) одновременно для всех s из малой окрестности точки S0 (от этого det2 умножится на число, равное квадрату определителя замены). Если п нечетно, то M имеет (р.— 1)-мерное подпространство инвариантных векторов и одномерное подпространство антиинвариантных векторов, порожденное классом цикла, исчезающего при s—* s0. в качестве нового базиса возьмем S1(s), ..., ^jl(s), где S1(s)—это класс цикла, исчезающего при s—>¦s0, S2 (s), ..., Sjl(S)—любые классы, составляющие базис инвариантных классов. Если п четно, то все собственные числа оператора M равны 1, и подпространство инвариантных векторов (р.— 1)-мерно. В качестве нового базиса возьмем S1 (s), . . . . . ., Sjl(s), где S1(s)—класс цикла, исчезающего при s—^s0, S2(s) — любой класс гомологий, индекс пересечения которого с S1 (s) равен I, S3 (s), ..., Sjl(S)—любые классы, составляющие вместе с S1 (s) базис инвариантных классов.
