Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 12. Интегралы и дифференциальные уравнения
В этом параграфе доказывается, что многозначные функции, заданные интегралами голоморфной дифференциальной формы по классам непрерывных семейств гомологий, исчезающих в критической точке голоморфной функции, составляют все решения обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения, порядок которого не больше кратности критической точки. Анализ этого явления приводит к понятию связности Гаусса — Манина в расслоении исчезающих (ко)гомологий, ассоциированном с расслоением Милнора критической точки.
В первом пункте параграфа доказывается теорема о детерминанте, из которой, в частности, следует существование голоморфных дифференциальных я-форм в С", которые после деления на дифференциал нашей функции порождают базис когомологий каждого слоя расслоения Милнора критической точки этой функции. Во втором пункте доказывается сформулированное выше утверждение о дифференциальном уравнении. В третьем пункте обсуждается понятие связности Гаусса — Манина.
Отметим введенное в п. 12.2 понятие особенности Пикара — Фукса конечнократной критической точки голоморфной функции, а также введенные в 12.3 понятия (ко)гомологического расслоения Милнора, ковариантного постоянного сечения (ко)гомологического расслоения, геометрического сечения когомологического расслоения 247 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
12.1. Теорема о детерминанте. В этом пункте доказана формулируемая ниже теорема 1; она является одним из основных утверждений об интегралах.
Рассмотрим росток f: (С", 0)—>- (С, 0) голоморфной функции, имеющий критическую точку р.. Рассмотрим специализацию f: X ¦—»- 5 ростка и соответствующее специализации расслоение Милнора (см. стр. 210). Выделим в слоях расслоения Милнора базисы целочисленных (п— 1)-мерных гомологий, непрерывно зависящие от точки базы. Базис в слое над точкой t обозначим S1 (t), ..., Sfl (t). (Отметим, что базис—многозначная функция точки базы.) Рассмотрим произвольный набор из р, голоморфных дифференциальных п-форм (O1, ..., Cofu заданных в окрестности начала координат в С". Предположим, что пространство X содержится в окрестности, в которой определены формы. Мы будем изучать свойства функции
det2: t det2 f J u>,/df\ , /, 1=1, ..., ц.
V ty« J
Теорема 1 (см. [22]). 1. Функция det2 однозначна в окрестности точки t= 0.
2. Функция det2 имеет при t = Q нуль порядка, не меньшего чем р. (п—2) (в частности, при n> 1 функция det2 голоморфна при t = 0).
3. Если набор форм достаточно общий (конечные струи форм в точке 0g€" не удовлетворяют некоторому комплексно аналитическому соотношению), то порядок нуля при t = 0 функции det2 равен її (п—2),
Определение. Набор форм Co1, ...,Cofl назовем тривиали-зацией, если для какого-нибудь семейства базисов S1, .. ., Sfl (а, значит, и для любого) функция det2 не равна тождественно нулю.
Определение. Набор форм Co1, ..., Coft назовем базисной тривиализацией, если для какого-нибудь семейства базисов S1, ...,Sfl (а, значит, и для любого) функция det2 имеет.при t = Q нуль порядка р.(я—2).
Следствие теоремы 1. Для любой конечнократной критической точки голоморфной функции существует тривиализация, более того, существует базисная тривиализация.
Замечания. 1. Первое доказательство существования три-виализации изложено в 114], оно опирается на теоремы (А), (В) А. Картана.
2. В п. 12.3 мы определим когомологическое расслоение Милнора критической точки. Это — векторное расслоение, база которого совпадает с базой обычного расслоения Милнора. Его слоями являются векторные пространства когомологий слоев обычного расслоения Милнора. Набор форм, названный в определении тривиализа- § '23
ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
248
цней, задает тривналнзацию когомологического расслоения Милнора над окрестностью точки ^=0.
3. Понятие тривиализации не зависит от выбора специализации ростка (см. п. 10.3. А, замечание 3 в п. 10.3.Б).
4. В следствии 2 леммы 11.6 предъявлен набор форм, являющийся базисной тривиализацией для критической точки функции Xx+... + Теорема 1 выводится из существования базисной тривиализации для указанной критической точки. Доказательство теоремы см. в пп. 12.1.В, 12.1.Д. В пп. 12.1.А, 12.1.Б доказаны вспомогательные утверждения о функции det2.
Прежде чем перейти к доказательству теоремы 1, сформулируем свойства тривиализаций.
I. Если CO1, ..., (Ojl—тривиализация, то формы Гельфанда — JIepe сO1Zdf, ..., (OilZdf порождают базисы (п—1)-мерных когомо-логий с комплексными коэффициентами во Всех слоях расслоения Милнора критической точки 0 функции f, расположенных над достаточно малой окрестностью точки ? = 0.
II. Пусть со, (O1, (Ofi—голоморфные дифференциальные n-формы, заданные в окрестности начала координат в С". Если Co1, ..., co?—тривиализация, то на достаточно малой проколотой окрестности точки t = 0 существуют и единственны голоморфные функции P1, ..., Pv., обладающие свойством:
J (o/df^%P/(t) С (Oj-Zdf б (0 ' б'(0
для любого непрерывного семейства б целочисленных (п—^-мерных гомологий в слоях расслоения Милнора критической точки 0 функции /. Если, более того, Coi, ..., COfl—базисная травиализа-ция, то функции P1, ..., P11 голоморфно продолжаются в точку t = 0.
