Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Интеграл с фазой лг^+1 + . . .4-л#+1 и произвольной формой со интегрированием по частям сводится к линейной комбинации интегралов с той же фазой и формами a>[t I ? J (ср. с леммой 5).
Следствие 1. Цепи Гу, /?/, порождают базис в группе классов эквивалентности цепей, допустимых для критической точки функции . . . +л#+1.
Действительно, эти цепи линейно независимы (п. 2 леммы 6), их число равно кратности критической точки.
Следствие 2.
det2 f J aydf) = C11W"-»,
\ W J
где Cix—отличная от нуля константа.
Следствие 2 с очевидностью вытекает из леммы 6 и формулы (6) на стр. 222.
Замечание I. Легко видеть, что следствие 2 для критической точки + ... + эквивалентно утверждению теоремы о детерминанте, сформулированной в начале п. 11.3.
Замечание 2. Лемма 6 и ее следствия легко обобщаются на случай критической точки функции ...
§ 12. Интегралы и дифференциальные уравнения
В этом параграфе доказывается, что многозначные функции, з аданные интегралами голоморфной дифференциальной формы по классам непрерывных семейств гомологий, исчезающих в критической точке голоморфной функции, составляют все решения обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения, порядок которого не больше кратности критической точки. Анализ этого явления приводит к понятию связности Гаусса — Манина в расслоении исчезающих (ко)гомологий, ассоциированном с расслоением Милнора критической точки.
В первом пункте параграфа доказывается теорема о детерминанте, из которой, в частности, следует существование голоморфных дифференциальных n-форм в С", которые после деления на дифференциал нашей функции порождают базис когомологий каждого слоя расслоения Милнора критической точки этой функции. Во втором пункте доказывается сформулированное выше утверждение о дифференциальном уравнении. В третьем пункте обсуждается понятие связности Гаусса — Манина.
Отметим введенное в п. 12.2 понятие особенности Пикара — Фукса конечнократной критической точки голоморфной функции, а также введенные в 12.3 понятия (ко)гомологического расслоения Милнора, ковариантного постоянного сечения (ко)гомологического расслоения, геометрического сечения когомологического расслоения 245 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
критической точки функции f-\-g. Легко видеть, что эта конструкция задает линейное отображение тензорного произведения групп классов эквивалентности цепей, допустимых для критических точек функций f, g, в группу классов эквивалентности цепей, допустимых для критической точки функции f-j-g. Можно показать (см. [215], а также теорему 2.9), что это отображение есть изоморфизм.
Замечание. В [215] приведено топологическое доказательство этого утверждения. Другое доказательство можно получить, используя теорему о детерминанте, сформулированную в начале п. 11.3 (см. п. 13.3.Д, а также следствие 1 леммы 6).
Теорема 4 (см. [185])
Теорема 4 — прямое следствие теоремы Фубини.
Следствие. Асимптотический ряд левого интеграла равен произведению асимптотических рядов интегралов, стоящих в правой части.
В. Интегралы с ф а з о й / = + . .. + х#+І (п р и ме р применения теоремы 4). Кратность критической точки функции х$*+1 + . .. + х#+1 равна р". Построим р™ я-мерных цепей: Г/ч.. ./» (1 =5? /і, •••, допустимых для этой критической
точки.
Каждую из цепей T1, ..., Гйс:С, указанных в п. 11.1.В и допустимых для критической точки x?+1, заменим на эквивалентную так, чтобы X^+1Iar.=—1, l/n> Re— 1. Положим
цепь Til...../„сС" равной Г/Ч х Г/гX ... X Ty . Легко видеть, что
цепь Г/,____t / допустима для критической точки xf+1 + ...
Обозначим через со,-, где / = (у1( ..., /'„), форму [х{'~1.. . . . .x'j-1 CixlA ... Д dxn. Обозначим через J множество индексов
і = Ui, ¦ ¦ in), Для которых 1 < Z1, .. ., }п <р.
Л е м м а 6. 1. Для любых j, I ? J
где rt=—(/x-f-. ..-f-/„)/(p-f-1); S1, ..., єй+1—корни уравнения xw+1 = —1, указанные в п. 11.1.В, Г(-) — гамма-функция.
где }, l^J, Bii,—отличная от нуля константа, определенная в следствии леммы 4.
Лемма б — очевидное следствие теоремы 4 и лемм 3, 4.
г,
2. § '23_ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 246
Замечание. Интеграл с фазой + . .. и произ-
вольной формой <в интегрированием по частям сводится к линейной комбинации интегралов с той же фазой и формами сог, / ? J (ср. с леммой 5).
Следствие 1. Цепи Tj, j ? J, порождают базис в группе классов эквивалентности цепей, допустимых для критической точки функции . . . + л#+г.
Действительно, эти цепи линейно независимы (п. 2 леммы 6), их число равно кратности критической точки.
Следствие 2.
det2 f J ©j/dA = ^/^0-2),
V ^1V J
где Cfl—отличная от нуля константа.
Следствие 2 с очевидностью вытекает из леммы 6 и формулы (6) на стр. 222.
Замечание 1. Легко видеть, что следствие 2 для критической точки + ... эквивалентно утверждению теоремы о детерминанте, сформулированной в начале п. 11.3.
Замечание 2. Лемма 6 и ее следствия легко обобщаются на случай критической точки функции лг^+...+x^™.
