Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для любой голоморфной дифференциальной (п — 1)-формы на X ее интегралы по классам непрерывного семейства целочисленных исчезающих гомологий определяют голоморфную многозначную функцию на проколотом диске S'. Ветвление этой функции при обходе параметра вокруг нуля определяется преобразованием монодромии в гомологиях, которое в даНном случае называется классической монодромией (см. п. 2.1). В каждом секторе a ^ =S^ arg t ^b эта функция разлагается в ряд ak, ata(\nt)k. В этом ряде все показатели степеней параметров положительны. Кроме того, все показатели степеней параметров являются деленными на 2яі логарифмами собственных чисел оператора классической монодромии. Произвольная степень логарифма параметра в этом ряде меньше, чем максимум размеров жордановых блоков оператора классической монодромии с сооответствующим собственным числом (см. теоремы 7, 7').
Рассмотрим на пространстве. X голоморфную дифференциальную n-форму т) и непрерывное многозначное семейство целочисленных исчезающих гомологий a (t), где t ? S'. Рассмотрим на базе
расслоения Милнора многозначную голоморфную функцию ^ ц/df.
а (О
Теорема 8 (см. [185]). В каждом секторе a ^argt ^.Ь эта функция разлагается в ряд 2 гАа (In t)k. Ряд сходится, если
а. к
модуль параметра достаточно мал. Все числа а рациональны. Каждое число а больше —1. Каждое число а обладает свойством: ехр (2ша)—собственное число оператора классической монодромии в гомологиях. Коэффициент ak, а равен нулю всякий раз, когда у классической монодромии нет жордановых блоков размеров fe + 1 и более с собственным числом ехр (2то"а).
Доказательство. В силу леммы Пуанкаре ц = йоз, где to—голоморфная дифференциальная (п—1)-форма. Согласно формуле (3) на стр. 209 ^ ^ to = ^ ту dt. Теперь теорема следует из
ff (О o<t)
теоремы 6.
Замечание о применении леммы Пуанкаре. Легко показать, что X—многообразие Штейна (см. определение в [40, 98]), еле- 216 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
довательно, когомологии многообразия X можно вычислять с помощью голоморфных форм (см. [217], [98, теорема 12.13]). X стягиваемо, форма ц замкнута, поэтому на X существует голоморфная (п—1)-форма со, для которой rj = <ico. Можно доказывать теорему 8, не используя штейновости многообразия X. В силу стандартной леммы Пуанкаре для данной формы т] существует голоморфная (п—1)-форма со, заданная в достаточно малой окрестности начала координат в С", для которой r\ = Aо. Теперь формула (5) справедлива для всех достаточно малых t. Этого утверждения достаточно для доказательства теоремы 8.
Пример. Пусть f = х\-\-... х%. Пространство исчезающих гомологий порождается исчезающим циклом. Пусть a (t)—исчезающий цикл над t, непрерывно зависящий от параметра. При обходе параметра вокруг нуля o(t)>—*¦(—1)" a (t). Пусть со—голоморфная дифференциальная (п—1)-форма. Рассмотрим голоморфную функцию I(t)= S со. По теореме 6 / (?) = 2 Qrjta, где а—¦
а (О
целые при четном и полуцелые при нечетном п. Разлагая со на однородные составляющие <*>„_!+«>„+ ... и пользуясь однородностью ростка, получаем, что интеграл J (ор равен 0, если р—п
a(t)
нечетно, и равен ap/2tp/!t, если р—п четно. Вычислим первый коэффициент а„/2. Считая t вещественным, получаем
S X (—¦1Y AjXj А • • • d-Xj . . . dxn = о Cl /
t
= TiAfU S dxx А ... dxjdf) dt = X Af Vol (Dn) tn'\
І 0 VcT (S) / j
где Vol(Dn)—объем л-мерного шара радиуса 1.
§ 11. Комплексные осциллирующие интегралы
При изучении асимптотического поведения функций часто приходится исследовать асимптотическое поведение интегралов вида
J <*/<*> ф (*) Ox1 А • • • A dxn г
при больших значениях параметра т. Здесь ф—голоморфные функции на С"; Г—вещественная n-мерная цепь, расположенная в С"; т—-большой вещественный параметр. Функция f называется фазой, функция ф—амплитудой. Такие интегралы называются интегралами метода перевала. Примеры задач, в которых возникает необходимость их исследования, см., например, в книге [96].
Метод перевала, которым исследуются такие интегралы, состоит в следующем. По формуле Стокса, интеграл не изменится, если § II] КОМПЛЕКСНЫЕ ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ 217
цепь деформировать, не меняя ее границы. Поэтому цепь, не изменяя ее границы, деформируют так, чтобы уменьшить на ней величину вещественной части фазы (именно она при больших положительных значениях параметра определяет величину интеграла). Уменьшать вещественную часть фазы можно сдвигом внутренности цепи вдоль траектории градиента фазы. Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока цепь не наткнется на критические точки фазы, в которых градиент равен нулю. Дальнейшие деформации приведут к уменьшению вещественной части фазы на части цепи, не наткнувшейся на критические точки, но не изменят максимума вещественной части фазы на цепи. Теперь задача исследования асимптотики интеграла сводится к локальным задачам оценки интеграла в окрестностях критических точек фазы, на которые наткнулась цепь, и к оценке интеграла в окрестности границы цепи, если максимум вещественной части фазы достигается на границе цепи.
